Вопрос по пространствам Соболева и интегралу Лебега

[vitalyhz]

Здравствуйте. Мне нужно, чтобы для функции $u\left( {x,t} \right) \in {L_2}\left( \Omega \right)$ выполнялись условия ${u'_x}\left( {x,t} \right) \in {L_2}\left( \Omega \right)$, $\int\limits_0^x {{{u'}_t}\left( {\xi ,t} \right)d\xi } \in {L_2}\left( \Omega \right)$ ($\left[ {0,x} \right] \subset \Omega $). Насколько я понимаю, обобщённая производная $u'_t\left( {x,t} \right) $ по определению принадлежит $L_2^{loc}\left( \Omega \right)$. Помогите, пожалуйста, разобраться, есть ли в этом случае гарантии существования указанного интеграла, и не будет ли он автоматически принадлежать ${L_2}\left( \Omega \right)$.

[vitalyhz]

Прошу извинить: допустил ошибку. $u'_t\left( {x,t} \right)$ принадлежит не $L_2^{loc}\left( \Omega \right)$, а $L_1^{loc}\left( \Omega \right)$. Вопрос всё ещё остаётся.

[Gafield]

Так принадлежность интеграла $L_2$ это условие или вопрос?

[vitalyhz]

Условия - принадлежность $L_2$ функции и её производной по $x$, а также существование производной по $t$. Принадлежность $L_2$ интеграла - это вопрос. Ещё один вопрос - на основании чего этот интеграл вообще существует.

[Gafield]

Вообще говоря, нет. В области $\Omega=[0,1]^2$ рассмотрим функцию $u(x,t)=t^{-1/3}$. Тогда интеграл будет равен $-x t^{-4/3}/3\not\in L_1(\bar\Omega)$.

Если потребовать, чтобы $u_t\in L_1(\Omega)$, то интеграл будет существовать для почти всех $(x,t)$. Еще из первых двух условий вытекает, что функция $u(\cdot,t)\in W_2^1[0,1]$ для почти всех $t\in[0,1]$ и, как следствие, непрерывна для таких $t$.

[vitalyhz]

Большое спасибо, Gafield, за ответ. Изучал я это всё уже давновато, а вот пригодилось. Буду разбираться дальше