Вообще говоря, нет. В области
![$\Omega=[0,1]^2$ $\Omega=[0,1]^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/8/f18a3c5c2e36fa3b45edd5568405465d82.png)
рассмотрим функцию

. Тогда интеграл будет равен

.
Если потребовать, чтобы

, то интеграл будет существовать для почти всех

. Еще из первых двух условий вытекает, что функция
![$u(\cdot,t)\in W_2^1[0,1]$ $u(\cdot,t)\in W_2^1[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/7/c27914a6ef826a9a20dd2990b1c7c01682.png)
для почти всех
![$t\in[0,1]$ $t\in[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/9/489dfef0eefc2611fce620116590ce8982.png)
и, как следствие, непрерывна для таких

.