Производящая функция последовательности

[paul_simon]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, каким образом можно найти производящую функцию последовательности $a_n = \sin(\alpha n)$, где $\alpha$ - фиксированный действительный параметр?

Заранее спасибо!

[Полосин]

Если под производящей функцией понимается $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nt^n$, то - с помощью формулы Эйлера: $\sin(an)=(e^{ian}-e^{-ian})/(2i)$.

[Someone]

$$\varphi(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\sin\alpha n$$

1) Можно выразить синус по формуле Эйлера: $\sin\phi=\frac{e^{i\phi}-e^{-i\phi}}{2i}$ и подставить в ряд. Получатся две геометрические прогрессии, которые сходятся при $|x|<1$. Потом нужно преобразовать результат к форме, не содержащей комплексных чисел.
2) Можно умножить обе части равенства

$$\varphi(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\sin\alpha n$$

на $1-2x\cos\alpha+x^2$, преобразовать произведение синуса и косинуса в сумму и проанализировать частичные суммы полученного ряда.

[paul_simon]

Спасибо огромное! Честно говоря, не ожидал таких подробных разъяснений!

[ИС]

paul_simon
Да ты че! эт самый крутой форум по математике!)))
Тут объясняют так что даже я начинаю понимать