2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Производящая функция последовательности
Сообщение24.10.2009, 19:32 
Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, каким образом можно найти производящую функцию последовательности $a_n = \sin(\alpha n)$, где $\alpha$ - фиксированный действительный параметр?

Заранее спасибо!

 
 
 
 Re: Производящая функция
Сообщение24.10.2009, 19:41 
Если под производящей функцией понимается $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nt^n$, то - с помощью формулы Эйлера: $\sin(an)=(e^{ian}-e^{-ian})/(2i)$.

 
 
 
 Re: Производящая функция
Сообщение24.10.2009, 19:53 
Аватара пользователя
$$\varphi(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\sin\alpha n$$

1) Можно выразить синус по формуле Эйлера: $\sin\phi=\frac{e^{i\phi}-e^{-i\phi}}{2i}$ и подставить в ряд. Получатся две геометрические прогрессии, которые сходятся при $|x|<1$. Потом нужно преобразовать результат к форме, не содержащей комплексных чисел.
2) Можно умножить обе части равенства
$$\varphi(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\sin\alpha n$$
на $1-2x\cos\alpha+x^2$, преобразовать произведение синуса и косинуса в сумму и проанализировать частичные суммы полученного ряда.

 
 
 
 Re: Производящая функция
Сообщение25.10.2009, 09:59 
Спасибо огромное! Честно говоря, не ожидал таких подробных разъяснений!

 
 
 
 Re: Производящая функция
Сообщение25.10.2009, 14:34 
Аватара пользователя
paul_simon
Да ты че! эт самый крутой форум по математике!)))
Тут объясняют так что даже я начинаю понимать :D

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group