Вопрос по обобщению ВТФ

[Профессор Снэйп]

Для каких действительных чисел $r$ существуют натуральные $x,y,z > 0$, такие что $x^r + y^r = z^r$?

[shwedka]

Вопрос, конечно, интересный. Что можно сказать сразу, это то, что таких показателей счетное множество. Ибо для каждой тройки натуральных чисел, из которых третье-самое большое, по непрерывности и монотонности следует существование единственного показателя. С другой стороны, очевидным образом, любое $r=n^{-1}$ , $r=2n^{-1}$ с натуральным $n$ годится. Не удивлюсь, если других нет. Но душу не прозакладываю.

[Профессор Снэйп]

shwedka в сообщении #254143 писал(а):

...не более, чем счетное множество.

Ну, то что ровно счётное, показать несложно. Берём произвольные натуральные $x$ и $y$, для них $\max\{x,y\} < z < x + y$ и затем видим, что функция $f(r) = x^r + y^r - z^r$ непрерывна, положительна в единице и отрицательна при всех больших $r$. Значит, каждая пара чисел $x$ и $y$ даёт столько же возможностей для $r$, сколько у неё имеется возможностей для выбора $z$. А при росте $x$ и $y$ число возможностей для $z$ растёт неограниченно

Интересно, их кто-нибудь исследовал, эти $r$?

[Nilenbert]

Интересно. Очевидно, что для чисел типа $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n}$ решение точно есть. Надо бы подумать про другие рациональные числа.
Хм, судя по этой статье при других рациональных значениях есть только комплексные решения одного вида.

[shwedka]

Nilenbert в сообщении #254145 писал(а):

Интересно. Очевидно, что для чисел типа $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n}$ решение точно есть. Надо бы подумать про другие рациональные числа.
Хм, судя по этой статье при других рациональных значениях есть только комплексные решения одного вида.

http://www.megaupload.com/?d=NV0PW687

[age]

Профессор Снэйп
Задача действительно интересная. Дополню ее следующей теоремой:
Для любых трех натуральных чисел $a, b, c$ найдется действительное $r$ такое, что $a^r+b^r=c^r$.

Например, для $a=3,\ b=7,\ c=2$ получаем $r=-0,92665732$.
А для $a=3,\ b=7,\ c=8$ уже $r=1,651587528$.

[covax]

age в [url=http://dxdy.ru/post254282.html#p254282] писал(а):

Для любых трех натуральных чисел $a, b, c$ найдется действительное $r$ такое, что $a^r+b^r=c^r$.

А, например, для $a=b=c=1024$ ?

[Алексей К.]

age в сообщении #254282 писал(а):

Например, для $a=3,\ b=7,\ c=2$ получаем $r=-0,92665732$.

У меня получилось $r=-.92665653346...\not=-0,92665732$. Дополнительно проверил. Указанное Вами число $-0,92665732=-\dfrac{223166433}{250000000}$ корнем не является.

[Профессор Снэйп]

age в сообщении #254282 писал(а):

Для любых трех натуральных чисел $a, b, c$ найдется действительное $r$ такое, что $a^r+b^r=c^r$.

Откуда же Вы такую чушь рожаете? Явно не из головы

Ну ка, найдите действительное $r$ для $a=b=c=1$.

[bot]

shwedka в сообщении #254143 писал(а):

... очевидным образом, любое $r=n^{-1}$ , $r=2n^{-1}$ с натуральным $n$ годится. Не удивлюсь, если других нет. Но душу не прозакладываю.

Ну, если отрицательные $r$ не исключаются, то душой лучше не рисковать, так как годятся также $-n^{-1}$ и $-2n^{-1}$.

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #254786 писал(а):

Ну, если отрицательные $r$ не исключаются, то душой лучше не рисковать, так как годятся также $-n^{-1}$ и $-2n^{-1}$.

Что-то не получается подобрать пример для $r=-1$.

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #254887 писал(а):

Что-то не получается подобрать пример для $r=-1$.

$2^{-1}+2^{-1}=1^{-1}$?

[shwedka]

$3^{-1}+6^{-1}=2^{-1}$

[Профессор Снэйп]

Да, действительно, примеры простые

[RIP]

Ну, т.е. в силу однородности достаточно искать положительные рациональные решения, поэтому $r$ и $-r$ хорошие или нехорошие одновременно: $x^r+y^r-z^r=(1/x)^{-r}+(1/y)^{-r}-(1/z)^{-r}$.