Максимальное значение последовательности; преобразования сум

[ZheniaM]

Уважаемые форумчане!

В процессе решения одной задачи столкнулся со следующей проблемой. Есть целочисленная последовательность. Необходимо найти её максимальное значение. Всё бы ничего, но последовательность задаётся весьма сложным способом. А именно

$$\gamma_k=\frac{(4k+1)(-1)^{k}C_{2k}^{k}C_{4k}^{2k}}{(2k+1)2^{4k+1}}\sum_{i=0}^{k}{\frac{(4i+1)(-1)^{i}(2i)!}{2^{4i}i!i!} \sum_{j=0}^{i}{\frac{(4i-2j)!(-1)^{j}}{(2i-2j)!j!(2i-j)!}\frac{1}{2i-2j+2k+3}}}$$

где $k=1,2,\ldots$.

Если построить эту последовательность - то хорошо видно, что максимальное значение она принимает при $k=1$. Однако, как это доказать строго - не знаю. Может быть кто подскажет?

[maxal]

Начните со сворачивания внутренней суммы - в любом мат.пакете...

-- Wed Oct 21, 2009 16:21:23 --

По моим прикидкам выражение упрощается до:

$$\gamma_k = (-1)^k \frac{(k+1)(4k+1)(4k)!}{2^{4k}k!^2} \sum_{i=0}^k (-1)^i\frac{(4i+1)(2i)!(k+i+1)!}{i!^2(k-i+1)!(2k+2i+3)!}$$

-- Wed Oct 21, 2009 16:51:34 --

Ну и совсем окончательно:

$$\gamma_k = \frac{(2k+2)!^2}{2^{4k+2}(k+1)!^2k!^2(4k+2)(4k+3)} = \frac{(k+1)^2}{2^{4k}(4k+2)(4k+3)}\binom{2k+1}{k}^2$$

-- Wed Oct 21, 2009 17:00:32 --

ZheniaM в сообщении #253751 писал(а):

Есть целочисленная последовательность.

Кстати, эта последовательность не является целочисленной. Вот несколько начальных значений:
3/56, 45/1408, 35/1536, 11025/622592, 43659/3014656, ...

[ZheniaM]

maxal в сообщении #253781 писал(а):

Начните со сворачивания внутренней суммы - в любом мат.пакете...

Спасибо!...А вопрос - а как получается это аналитически?..понимаю, что какой-нибудь Maple с помощью своего simplify (или что-то похожее) - свернёт. А вот как это сделать без него?

Вот

maxal в сообщении #253781 писал(а):

По моим прикидкам выражение упрощается до:

$$\gamma_k = (-1)^k \frac{(k+1)(4k+1)(4k)!}{2^{4k}k!^2} \sum_{i=0}^k (-1)^i\frac{(4i+1)(2i)!(k+i+1)!}{i!^2(k-i+1)!(2k+2i+3)!}$$

Вот как вы это сделали? (может быть это тривиально, но я не являюсь специалистом в данном вопросе...и к как подступиться к этому даже не знаю)

ZheniaM в сообщении #253751 писал(а):

Кстати, эта последовательность не является целочисленной.

Я имел в виду, что получена из целых чисел. Прошу прощения за путаницу.

[maxal]

ZheniaM в сообщении #253854 писал(а):

Спасибо!...А вопрос - а как получается это аналитически?..понимаю, что какой-нибудь Maple с помощью своего simplify (или что-то похожее) - свернёт. А вот как это сделать без него?

Базовые приемы можно узнать в "Конкретной математике", а вообще преобразование таких сумм - это довольна техническая вещь, требующая хорошей практики. Если вас интересует результат, а не выкладки, то проще довериться мат.пакетам.

[ZheniaM]

Спасибо!...В данном конкретном случае интересует и то и другое. Попробую посмотреть в Конкретной математике...Правда, думаю, сходу вряд ли что-нибудь путное из этого выйдет.

[RIP]

Если будете Конкретную математику смотреть, то берите последнее издание. Ещё можно почитать Petkovsek M., Wilf H.S., Zeilberger D. — A=B (лень искать в свободном доступе): эта книга целиком посвящена этому вопросу (и написана людьми, которые и создали соответствующие алгоритмы).