свойства перестановок натурального ряда.

[Sonic86]

migmit писал(а):

Вы заметили, что суммируются не $n^{-1}$, а $m_n^{-1}$?

Ага, да, я затупил. Зато теперь точно все понял.

Обозначим сумму и запишем вместо $m < r$ $m \leq r$ - разницы все равно нет, а дальше так будет удобнее.

$$S = \frac{\sum\limits_{n \in E_{\beta}, m \leq r}m_n_{-1}}{\ln r} = \frac{\sum\limits_{m \leq \beta n, m \leq r}m_n_{-1}}{\ln r} \sim 1 - \frac{\sum\limits_{\beta n_m < m \leq r}m_n_{-1}}{\ln r}$$

.
Поскольку $n \mapsto m_n$ - перестановка, то и $m \mapsto n_m$ - перестановка. Все $n_m$ различны.
Поставим каждому $n_m$ в соответствие его номер $k(n_m)$ в прямой зависимости от его величины (т. обр., минимальному среди $n_m$ будет присвоен номер 1, следующему по порядку за ним номер 2, ..., максимальному - номер $r$). Ясно, что $k(n_m) \leq n_m$, поэтому $\beta n < m \to \beta k < m$, поэтому

$$\sum\limits_{\beta n < m \leq r}m^{-1} \leq \sum\limits_{\beta k < m \leq r}m^{-1}$$

И тогда, поскольку $m \mapsto k(n_m)$ - перестановка $\rho$ длины $r$ (их конечное число)

$$S \geq 1 - \sum\limits_{\beta k < m \leq r}m^{-1} \geq 1 - \max_{\rho} \frac{\sum\limits_{\beta k < m \leq r}m^{-1}}{\ln r}$$

.
Найдем максимум последней суммы (для удобства считаем, что $\beta$ иррационально). $\beta k \in \{ \beta, 2 \beta, ..., r \beta\}$. Среди этих чисел числа $r \beta, ... , \ceil{\frac{r}{\beta}}\beta > r$, поэтому расположение их $k$ в перестановке $\rho$ на величину суммы не влияет - их располагаем как угодно после того, как расположим первые числа. Все первые числа $k = 1..\floor{\frac{r}{\beta}}$ располагаем в перестановке в порядке возрастания так, чтобы неравенство $\beta k < m$ выполнялось (по принципу k=1; for(m=1;m<=r;m++) {if $\beta k < m$ {$\rho(m)=k$;} k++;}). Максимум на этой перестановке действительно достигается, поскольку в сумму включены все возможные слагаемые.

$$\max_{\rho} \frac{\sum\limits_{\beta k < m \leq r}m^{-1}}{\ln r} \sim \frac{1}{\beta \ln r} \ln r = \frac{1}{\beta}$$

,
поэтому

$$\limsup S \geq 1 - \frac{1}{\beta}, \ \alpha(\beta) \geq 1 - \frac{1}{\beta}$$

- существует, но верно ли $ \alpha(0) \geq 0,5$ этим способом не узнать.

Правильно?

P.S. Кажется можно не ограничиваться конечной перестановкой. Исходную перестановку $\pi$ можно разрезать на отдельные куски, каждый из которых тоже будет перестановкой на каком-то своем конечном множестве. Тогда получится та же оценка $\alpha(\beta) \geq 1 - \frac{1}{\beta}$.

P.P.S. Прочел Ваши посты, пойду на всякий случай оценку проверю.

[Sonic86]

Короче этот мой предыдущий пост можно не читать - у RIP написано проще, короче и понятнее.