свойства перестановок натурального ряда.

[shwedka]

Может, и не туда я топик послала, но сей раздел хорошо читаем.
Как многие догадываются, я - профессиональный математик, даже в немалых чинах. И разные задачи, по моему интересу, решаю.
Вот, недавно возникла у меня, в анализе одной проблемы квантовой механики, почти элементарно формулируемая задача. Частичный результат я смогла получить, но хочется большего. Вдруг у участников хорошие идеи возникнут.

Итак, задача.

Пусть имеется перестановка множества натуральных чисел
$n\mapsto m_n$. Под словом 'перестановка' имеется в виду взаимно однозначное отображение $\mathbb{N}$ на $\mathbb{N}$. Никаких ограничений. Ничего о перестановке не знаем.

Для числа $\beta>1$ определим множество $E_{\beta}=\{n\in\mathbb{N}:m_n\le \beta n\}$. по-простому, это означает, что $E_{\beta}$ - это множество тех чисел, которые не слишком сильно выросли при перестановке (или, возможно, уменьшились).
Вопрос состоит в том, чтобы выяснить, насколько это множество, при различных $\beta$, велико.
Как можно мерять размер множества целых чисел? Мне интересно так:
Известно, что гармонический ряд $\sum \frac1n$, расходится, более того,
$\sum_{n<r}n^{-1}\sim \log(r), \ r\to \infty$.
Вот этим способом и будем мерять 'размер ' множества $E_\beta$.
Итак, гипотеза.(то есть, чего бы хотелось)

Гипотеза. Для любого $\beta>1$, существует $\alpha >0$так, что

$$\limsup_{r\to\infty}\frac{\sum_{n\in E_\beta, m_n<r}m_n^{-1}}{\log r}>\alpha.$$

Иначе говоря, числа, в которые переставятся числа из $E_{\beta}$, составляют ненулевую долю от всего множества целых чисел, в смысле поведения сумм обратных величин (уж тут логики позабавиься смогут...)

Что я могу сейчас сама сделать. Могу доказать это утверждение для $\beta >2$. Могу доказать, что если $\beta >4$, то можно взять $\alpha>0.5$. Опять, иными словами, при $\beta >4$, не менее половины всех целых чисел попадают в образ $E_{\beta}$ при перестановке.

Но этого недостаточно для приложений. хотелось бы доказательства такого утверждения для произвольного $\beta >1$. Совсем была бы счастлива, если бы, по-прежнему, можно было бы взять $\alpha>0.5$.

Конечно, это не теорема Ферма, но это конкретный пример элементарно формулируемой задачи, с которой люди вынуждены сражаться во 'взрослой' математике.

[Circiter]

Цитата:

Известно, что гармонический ряд $\sum \frac 1n$, расходится

М.б. сходится?

По-существу, какая-то расплывчатая формулировка. Ведь все от перестановки зависит. Например, для тождественной перестановки все числа "не слишком вырастут". А что если обменять местами два соседних числа?

Цитата:

Иначе говоря, числа, в которые переставятся числа из $E_{\beta}$, составляют ненулевую долю от всего множества целых чисел, в смысле поведения сумм обратных величин

Простите, но разве это не очевидно? Т.е. разве может ваш предел быть нулем?

Можно ли в вашей задаче применять вероятностный подход? Т.е. может-быть возможно как-нибудь оценивать вероятности правильных/неправильных "перескоков" чисел, и обмерять множества именно такими вероятностями?

P.S.: Если глупость сморозил -- не обращайте внимания, я не математик.

[shwedka]

Circiter в сообщении #253534 писал(а):

М.б. сходится?

Ай!!Как вы меня!!! Правда, если в учебник заглянуть....

Circiter в сообщении #253534 писал(а):

По-существу, какая-то расплывчатая формулировка. Ведь все от перестановки зависит

Доказать нужно для ВСЕХ перестановок.

Circiter в сообщении #253534 писал(а):

Простите, но разве это не очевидно?

Мне-то. а теперь и вам, очевидно.
Но, все равно, нужно доказывать! К сожалению, математика признает только доказанное.

[Circiter]

Цитата:

Правда, если в учебник заглянуть....

Т.е. все-таки расходится? Или это была не шутка-сарказм?

Я почему-то воспринял вашу задачу примерно так: Есть бесконечномерное пространство (нормированное?). В нем вектор $x$. Вы его умножаете на бесконечную перестановочную матрицу (линейный оператор?) $A$, получаете вектор $y=Ax$. Нужно определить "расстояние" между $x$ и $y$ введя какую-нибудь разумную "норму" и исследовать её свойства (в частности, доказать "положительную определенность").

[Sonic86]

shwedka!
Извините, но я кажется, что-то не понимаю. Объясните подробнее.
Вот например, если обозначить это ключевое выражение $\limsup$ как $L(\beta)$, то для одной и той же перестановки при $\beta _1 < \beta _2$ будет $E_{\beta_1} \subset E_{\beta _2}$, поэтому $L(\beta _1) \leq L(\beta _2)$. Тогда если для $\beta_1 > 2$ $\alpha > 0,5$, то отсюда сразу следует и то, что $\beta_2 > 4$ $\alpha > 0,5$ тоже. Но, раз Вы это отдельны образом пишите, ты Вы это как-то не настолько тривиально доказывали, значит я чего-то не понял
И еще: $\sup$ ведь берется по всем перестановкам? Но тогда отсюда следует, что $\sup \geq \sup$ для тождественной перестановки, а для тождественной подстановки $L(\beta) = 1 > 0$ - это все тоже слишком просто - опять же я чего-то не понял. Объясните!

[shwedka]

Circiter
Возможная трактовка.
Sonic86

Цитата:

Тогда если для $\beta_1 > 2$ $\alpha > 0,5$, то отсюда сразу следует и то, что $\beta_2 > 4$ $\alpha > 0,5$ тоже.

совершенно верно.Но я для $\beta_2 > 4$ доказывать умею, а для $\beta_1 > 2$ нет. Ощущаете, в какую сторону импликация?

Цитата:

И еще: $\sup$ ведь берется по всем перестановкам?

Ни в коем случае!! Где такое написано?

[Sonic86]

shwedka писал(а):

совершенно верно.Но я для $\beta_2 > 4$ доказывать умею, а для $\beta_1 > 2$ нет. Ощущаете, в какую сторону импликация?

Ага! Понял!

shwedka писал(а):

Sonic86 писал(а):

И еще: $\sup$ ведь берется по всем перестановкам?

Ни в коем случае!! Где такое написано?

А по чему он тогда берется? Ведь под знаком $\limsup$ стоит выражение, которое зависит только от $r, \beta$ и от перестановки $\pi : n \mapsto m_n$. $\beta$ - параметр, $r$ относится к $\lim$, тогда $\pi$ относится к $\sup$? $\limsup()$ - это разве не $\lim(\sup())$? Может я просто этот знак не знаю?

[shwedka]

Sonic86
$\limsup()$ определяется для произвольной функции
$\limsup_{r\to\infty} F(r)=\lim_{r\to\infty}(\sup_{t>r}F(t))$
посмотрите в любом учебнике по анализу.

в старых книгах, например, у Фихтенгольца, называется 'верхний предел' и обозначается $\overline{\lim}$
в моей задаче перестановка фиксирована.

[Sonic86]

Ага, понял, пошел думать...

-- Ср окт 21, 2009 14:41:41 --

Все-таки не понимаю.
Пусть $\pi$ - перестановка, которая отображает по порядку степени двойки в не степени двойки, а не степени двойки в степени двойки. То есть
$\pi(n)=3,5,1,6,2,4,8,7,16,32,64,128,...$.
Тогда для достаточно большого $r$ $E_4 = \{ 3,5,6,7,9,10\} \cup \{ 1,2,4,8,16,...\}$ и тогда
$\sum\limits_{n \in E_{\beta}, m_n<r}m_n^{-1} = C + (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...)=C_1$ и тогда $\suplim = 0$

-- Ср окт 21, 2009 14:44:09 --

Sonic86 писал(а):

тогда =0

блин, не корректируется, имел ввиду $\limsup = 0$.

[migmit]

Вы заметили, что суммируются не $n^{-1}$, а $m_n^{-1}$?

[shwedka]

migmit в сообщении #253640 писал(а):

Вы заметили, что суммируются не $n^{-1}$, а $m_n^{-1}$

В этом-то все и дело!

Да, мне удалось доказать нужное утверждение для произвольного $\beta>1$, к сожалению, $\alpha$ безнадежно портится при приближении $\beta>1$ к единице. Дальше нужно думать!

[RIP]

Что-то я туплю. Вроде бы очевидно, что можно взять любое $\alpha<(\beta-1)/\beta$ (более того, та же оценка выполнена для нижней асимптотической плотности [Upd. и даже для плотности Шнирельмана] множества $D_\beta:=\{m_n\mid n\in E_\beta\}$), и в общем случае$\alpha=(\beta-1)/\beta$ взять нельзя. Действительно, если $m_n\in[1;r]\setminus D_\beta$, то $n<m_n/\beta\le r/\beta$, следовательно, $\#([1;r]\setminus D_\beta)<r/\beta$. С другой стороны, при $n\in\mathbb N\setminus2^{\mathbb N}$ положим $m_n=\lfloor\beta n\rfloor+1$, а на степенях двойки доопределим $m_n$ так, что получится биекция. Тогда множество $D_\beta$ будет иметь асимптотическую плотность $(\beta-1)/\beta$.

[shwedka]

Спасибо. В первой части я пользовалась аналогичным рассуждением, только пришлось чуть повозиться с коэффициентом в логарифмической расходимости. А пример - прекрасный.
Значит, если плотность хочется получить больше половины, то сдвинуться по $\beta$ ниже двойки нельзя. Жаль.

[RIP]

Немного пооффтоплю.

shwedka в сообщении #253597 писал(а):

в старых книгах, например, у Фихтенгольца, называется 'верхний предел' и обозначается $\overline{\lim}$

Мне казалось, что эти название и обозначение и сейчас общеприняты в России (т.е. не только "в старых книгах"). По крайней мере, нас в курсе матана так и учат. И команда специальная есть: \varlimsup.

[shwedka]

Меня тоже так учили. Но вне России, и даже в русских статьях встречается только $\limsup$. Но это все не смертельно важно.