Сумма натуральных чисел

[Виктор Ширшов]

Батороев в сообщении #253289 писал(а):

Результат конечного счета не может быть равен ,
т.к. не есть квадрат целого числа.

А собственно, почему?

[Батороев]

Я могу Вам показать, как это получается, но более квалифицированную информацию Вы получите из статей про треугольные числа.

Кстати, может Вам пригодиться для рассмотрения ВТФ для 3-й степени,
т.к.
$ a^3=T_a^2-T_{a-1}^2$.

[Виктор Ширшов]

Батороев в сообщении #253296 писал(а):

Я могу Вам показать, как это получается, но более квалифицированную информацию Вы получите из статей про треугольные числа.

Мне это не надо.

Виктор Ширшов в сообщении #253294 писал(а):

Батороев в сообщении #253289 писал(а):
Результат конечного счета не может быть равен ,
т.к. не есть квадрат целого числа.

А собственно, почему?

Повторяю, Ваша формула - супер, но только для чётного результата. Сравните с моей: $n(n/2+1)- n/2$ и заодно проверьте свой результат для 12345678910

-- Вт окт 20, 2009 14:16:30 --

Батороев в сообщении #253296 писал(а):

Кстати, может Вам пригодиться для рассмотрения ВТФ для 3-й степени,
т.к.
.

Своё доказательство ВТФ я изложил. Мне пригодилось для него только то, что изложено в соответствующей теме. Кстати, мне лично непонятно, почему модераторы считают, что "любые попытки доказательства ВТФ сначала должны быть явно выписаны для случая $n=3$". Разве случай $n=2$ уже кто-то доказал?

[Батороев]

Раскройте скобки в своей формуле, приведите к общему знаменателю и получите общечеловеческую формулу (не мою) для сумм любых, четных и нечетных, последовательных натуральных чисел.
Вам в самом начале обсуждения советовали рассмотреть натуральный ряд, как арифметическую прогрессию (коль треугольные числа Вам "не ко двору"). Примените формулу суммы членов такой прогрессии и придете к такому же результату.

[master]

Виктор Ширшов
$n(\frac{n}{2}+1)-\frac{n}{2}=n(\frac{n}{2}+1-\frac{1}{2})=n(\frac{n}{2}+\frac{1}{2})=n(\frac{n+1}{2})$

[Виктор Ширшов]

master. Спасибо, что избавили от подобных расчётов.
Батороев. Из Вашего предыдущего поста получается, что если $n=101$ или ещё какому-то другому конечному счёту, суммы нечётных и чётных вроде бы как не существует.
P.S. У Вас вроде бы трезвая голова, поэтому попытайтесь найти формулу и для суммы правильной дроби. Полагаю, что если мы объединим свои мозги, мы её получим.

[AKM]

Виктор Ширшов в сообщении #253297 писал(а):

Кстати, мне лично непонятно, почему модераторы считают, что "любые попытки доказательства ВТФ сначала должны быть явно выписаны для случая $n=3$".

Так считают не только модераторы. Если Вы ознакомитесь с формулировкой теоремы, то, возможно, поймёте. И может даже про $n=2$ поймёте. Это-то совсем не сложно.

[Виктор Ширшов]

AKM в сообщении #253305 писал(а):

Так считают не только модераторы. Если Вы ознакомитесь с формулировкой теоремы, то, возможно, поймёте. И может даже про поймёте. Это-то совсем не сложно.

Так считает "Shwedkа", а "Бодигрим" того же мнения, что и я (полагаю, "Мы не одни во Вселенной").

[Батороев]

Виктор Ширшов в сообщении #253304 писал(а):

Батороев. Из Вашего предыдущего поста получается, что если $n=101$ или ещё какому-то другому конечному счёту, суммы нечётных и чётных вроде бы как не существует.

Виктор Ширшов
Вам следует бросить свою привычку передергивать чужие слова.
Я лишь говорил Вам, что есть ряд треугольных чисел (сумм последовательных натуральных чисел), подчиняющихся закономерности, присущей только им:

$ \sqrt{8T_a+1} = 2a+1$
(где $T_a= \frac{a(a+1)}{2}$ -
$a$-ое треугольное число).

Поэтому, чтобы выявить, треугольное ли число, применяется эта формула.
Если $101$ не треугольное, то оно не может подчиняться этой формуле в отношении целочисленности.
А если же число треугольное, то не зависит от того, четное ли $a$ или нечетное, оно будет подчиняться данной закономерности.

$\sqrt{8\cdot 76207893880582233505+1} = 24691357821=2\cdot 12345678910+1$
$ \sqrt {8\cdot 28+1}= 15 = 2\cdot 7+1$.

[bot]

Виктор Ширшов в сообщении #253284 писал(а):

Подвоха нет. Как хотите. Можете вывести формулы отдельно для чётных и для нечётных, если найдёте. А потом их объедините (сложите).

Ну, рискну поверить.
Если здесь идёт речь о суммах всех чётных или нечётных натуральных чисел,
не превосходящих натурального $n$, то для эти суммы соответственно равны

$\big\lfloor\frac{n}{2}\big\rfloor\cdot\big\lfloor\frac{n+2}{2}\big\rfloor\ \ $ и
$\ \ \big\lfloor\frac{n+1}{2}\big\rfloor\cdot\big\lfloor\frac{n+1}{2}\big\rfloor $

Если эти суммы сложить, то получится сумма всех натуральных,
не превосходящих натурального $n$, которая равна $\frac{n(n+1)}{2}$

Если же эти суммы объединить, то есть записать одну формулу, пригодную для обоих случаев, то получим:

$\big\lfloor\frac{n+r}{2}\big\rfloor\cdot\big\lfloor\frac{n+2-r}{2}\big\rfloor$

Здесь $r=0$ для чётного случая и $r=1 \ \ - $ для нечётного.

Однако в этом случае - тема явно не для дискуссии, это для раздела "помогите решить/разобраться"
Если же всё-таки предполагалась дискуссия по поводу таких сумм, то это скорее уже юмор.
Ну а если и не юмор, а всё-таки дискуссия, то я рисковал зря и неверно заменил "для" на "не превосходящих"

P.S. Пока перемещался в пространстве, уже вперёд ушли - ВТФ, заметил, замаячила. У Семёна конкурент появился с альтернативной идеей?

[v0rtex]

AD в сообщении #253249 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #253059 писал(а):

Предлагаю

Инициатива наказуема

вот поэтому кто-то идет в науку.. а кто-то идет в бизнес -)

[Батороев]

Виктор Ширшов в сообщении #253304 писал(а):

master. Спасибо, что избавили от подобных расчётов.
Батороев. Из Вашего предыдущего поста получается, что если $n=101$ или ещё какому-то другому конечному счёту, суммы нечётных и чётных вроде бы как не существует.

Еще раз вернулся к Вашему сообщению.
Откровенно говоря, при первом Вашем обращении к числу $101$ была приплюсована фраза "конечный счет". Я еще тогда достаточно долго ломал голову, что это за словосочетание и в каком смысле Вы его применяете. Затем решил, что это какая-то сумма, получившаяся у Вас в "конце счета". И далее придерживался этого обстоятельства.
Естественно, рассматривая в этом ракурсе, я не преминул доказать, что $101$ не может быть рассматриваемой суммой.

И только сейчас заметил, что в цитируемом сообщении, в котором Вы опять вернулись к данному числу, появилось уточнение - $n =101$. Если Вас интересовала сумма натуральных чисел, не превосходящих 101, то она, естественно, существует и равна
$\dfrac{101\cdot 102}{2}= 5151$.

[Виктор Ширшов]

Батороев. Полученная Вами формула подходит для 100, 101, 18999, 300000, $a$, $m$, $n$. Спасибо.

[Someone]

Говорят, Гаусс додумался до этой формулы ещё в начальной школе, когда учитель заставил учеников вычислять сумму натуральных чисел от 1 до 100.

[Виктор Ширшов]

Someone в сообщении #253395 писал(а):

Говорят, Гаусс додумался до этой формулы ещё в начальной школе, когда учитель учеников вычислять сумму натуральных чисел от 1 до 100.

А кто собственно, говорит?