О сумме двух кубов

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #253045 писал(а):

Так как мы рассматривали случай $x$ делящегося на $3^1$ и не делящегося на 9;27;81

Неправда. Вы расматривали.
Значит, признаетесь, что в заявлении

ljubarcev в сообщении #252692 писал(а):

Уважаемая Shwedka ! Повторяю ещё раз. ПРИ ВСЕХ $x$ делящихся на $3^1$.

вы сказали неправду. Значит, не для всех? значит, только для некоторых?

[grisania]

Someone в сообщении #253038 писал(а):

--------------------------------------------------
Поэтому вместо Вашего утверждения 8 доказано другое:
Утверждение 8. Уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных числах, если $x$ делится на $3$ и не делится на $3^2$.

Следовательно, верно утверждение:
Утверждение 1. Если уравнение $x^3+y^3=z^3$ имеет решения в натуральных числах, то одно из чисел $x,y,z$ делится на $3^2$.
Которое доказал как я понимаю ljubarcev, я его доказал другим способом.
Дальше продолжить не удается, то есть доказать утверждение:
Утверждение 2. Если уравнение $x^3+y^3=z^3$ имеет решения в натуральных числах, то одно из чисел $x, y, z$ делится на $3^k$, где $k$ - любое натуральное число.
PS. Самое смешное, что когда одно из чисел ноль $x, y, z$ (тривиальное решение) последнее утверждение 2 верно.
Это был мой план доказать ВТФ для тройки, используя утверждение 2. Но смог доказать только, что $k=2$.

[Someone]

ljubarcev в сообщении #253045 писал(а):

3. Предположив для определённости, что $x<y<z$ и что на $3^1$ делится именно $x$

Я не помню, чтобы где-нибудь использовалось неравенство $x<y<z$. Если Вы его действительно где-то используете, то Вы не можете ограничиваться только случаем, когда именно $x$ делится на $3$, нужно также рассматривать случаи, когда на $3$ делится $y$ или $z$.

ljubarcev в сообщении #253045 писал(а):

получили. что при этом $x$ должно иметь вид $x=3mx_1$. Так как мы рассматривали случай $x$ делящегося на $3^1$ и не делящегося на 9;27;81 и так далее, то в равенстве $x=3mx_1$ числа $m;x_1$ не могут делиться на $3$, иначе мы имели бы $x=3^2x_1$; $x=3^3x_1$; $x=3^4ч_1$ и так далее.

Вот именно.

ljubarcev в сообщении #253045 писал(а):

4. Исходя из того, что $x$ должно иметь вид $x=3mx_1$ при $m;x_1$ не делящихся на $3$ и найдя ПРОТИВОРЕЧИЕ мы со всей очевидностью строго доказали, что равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных числах, то есть (строго говоря) что нет ни одного числа $mx_1$, удовлетворяющего исходному предполагаемому равенству.

Вот здесь уже врёте. Во-первых, откуда-то взялось число $mx_1$, в то время как $x=3mx_1$. Во-вторых, совершенно исчезли всякие упоминания о том, что $x$ не делится на $3^2$ (а $y$ и $z$ не делятся на $3$). Или, в более симметричной форме - ни одно из чисел $x,y,z$ не делится на $3^2$.

grisania в сообщении #253062 писал(а):

Это был мой план доказать ВТФ для тройки, используя утверждение 2. Но смог доказать только, что $k=2$.

Продвинуться дальше, основываясь только на свойствах делимости на степени тройки, нельзя, потому что существует контрпример (контрпример не к теореме Ферма, конечно, а к таким доказательствам).

[shwedka]

повторяю вопрос

shwedka в сообщении #253049 писал(а):

Значит, признаетесь, что в заявлении
ljubarcev в сообщении #252692 писал(а):
Уважаемая Shwedka ! Повторяю ещё раз. ПРИ ВСЕХ $x$ делящихся на $3^1$.


вы сказали неправду. Значит, не для всех? значит, только для некоторых?

[ljubarcev]

Цитата:

Someone в сообщении #253109"писал: "ljubarcev в сообщении #253045"писал: 3. Предположив для определённости, что $x<y<z$ и что на $3^1$ делится именно $x$
Я не помню, чтобы где-нибудь использовалось неравенство $x<y<z$. Если Вы его действительно где-то используете, то Вы не можете ограничиваться только случаем, когда именно $x$ делится на $3$, нужно также рассматривать случаи, когда на $3$ делится $y$ или $z$

Неравенство, действительно, в доказательстве не испольэовалось по этому давайте о нём и не будем. М.М. Постников писал; «записав равенство в виде $x^n+y^n+(-z)^n=0$ увидим, что числа в нём вполне симметричны». Простите, цитирую по памяти, ссылку точно дать пока не могу , книга на работе. Возможно, что этого достаточно. По крайней мере очевидно, что случай $y$ делящегося на $3$ можно не рассматривать, так как в приведенном доказательстве достаточно все $x$ заменить на $y$ и наоборот. Получится тоже самое.

Цитата:

Someone в сообщении #253109"писал: "ljubarcev в сообщении #253045"писал: Получили. что при этом $x$ должно иметь вид $x=3mx_1$. Так как мы рассматривали случай $x$ делящегося на $3^1$ и не делящегося на 9;27;81 и так далее, то в равенстве $x=3mx_1$ числа $m;x_1$ не могут делиться на $3$, иначе мы имели бы $x=3^2x_1$; $x=3^3x_1$; $x=3^4x_1$ и так далее.

Вот именно.

А вот как раз и нет. Тут я действительно ошибался. Так как каждое из чисел $x=3^2x_2$; $3^3x_3$; $3^4x_4$ делится на $3$, то они так же попали под рассмотрение.

Цитата:

Someone в сообщении #253109"писал: "ljubarcev в сообщении #253045"писал: 4. Исходя из того, что $x$ должно иметь вид $x=3mx_1$ при $m;x_1$ не делящихся на $3$ и найдя ПРОТИВОРЕЧИЕ мы со всей очевидностью строго доказали, что равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных числах, то есть (строго говоря) что нет ни одного числа $mx_1$, удовлетворяющего исходному предполагаемому равенству.

Вот здесь уже врёте. Во-первых, откуда-то взялось число $mx_1$, в то время как $x=3mx_1$. Во-вторых, совершенно исчезли всякие упоминания о том, что $x$ не делится на $3^2$ (а $y$ и $z$ не делятся на $3$). Или, в более симметричной форме - ни одно из чисел $x,y,z$ не делится на $3^2$.

Так как я исхожу из предположения $x=3mx_1$, при $x$ делящемся на $3$, то:
1. $x$ делящиеся на $3^2$; $3^3$; и т.д. сюда так же входят, так как они несомненно являются числами делящимися на $3$.
2. При $x=3mx_1$ должно выполняться равенство $(z^3-y^3)/3^3=m^3x_1^3=(mx_1)^3$
Дальше я использовал обозначение $x_1^3$ вместо $(mx_1^3)$, ;так как ясно, что это должен быть куб какого то натурального числа. Исполь зуется именно это свойство упомянутого числа.
Дед.

[shwedka]

Любарцев!! Вы опять туда же!!
Вы, что, отказываетесь от своих слов, что

ljubarcev в сообщении #253045 писал(а):

Предположив для определённости, что $x<y<z$ и что на $3^1$ делится именно $x$ получили. что при этом $x$ должно иметь вид $x=3mx_1$. Так как мы рассматривали случай $x$ делящегося на $3^1$ и не делящегося на 9;27;81

Тогда повторяю вопрос
ljubarcev в сообщении #252692 писал(а):

...Утверждение 8. Равенство $x^3+y^3=z^3$ не выполняется в натуральных числах при $x$ делящемся на $3$. Доказательство.
...
Таким образом, в равенстве $(2mgk)/3=(g^3-k^3)/9$ число справ – целое. В то же время число слева $(2mgk)/3$ при взаимно простых $g;k;m$ [color=#BF00FF]не делящихся в нашем случае на $3$</span><!-- size end --> натуральных числах, очевидно, целым быть не может.
При этом $x=3mx_1$. Тот факт, что при этом $m;x_1$ не делятся на $3$ является очевидным следствием этого единственного ограничения.


Очевидным не является. Докажите![/color]

[ljubarcev]

shwedka в сообщении #253129 писал(а):

повторяю вопрос

shwedka в сообщении #253049 писал(а):

Значит, признаетесь, что в заявлении
ljubarcev в сообщении #252692 писал(а):
Уважаемая Shwedka ! Повторяю ещё раз. ПРИ ВСЕХ $x$ делящихся на $3^1$.


вы сказали неправду. Значит, не для всех? значит, только для некоторых?

Уважаемая Shwedka ! «Вы сказали неправду» - это утверждение. Почему же Вы дальше все пишете со знаком вопроса ? Или Вы всё таки сомневаетесь? Теперь по сути.
Доказано, что равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных числах при $x$ делящемся на $3$, то есть при $x$ имеющем вид $x=3x_1$. Это и означает, что нет ни одного натурального $x_1$, при котором равенство $x^3+y^3=z^3$ выполняется.
Вы верно указали, что из приведенного ранее доказательства не очевидно, что равенство не выполняется при $x$ делящемся на $3^2$.
Даю доказательство.
Я утверждаю: равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных числах при $x$ делящемся на $3^2$, то есть при $x$ имеющем вид $x=3^2x_2$. Это отрицательное утверждение и для его доказательства существует один метод – « от противного».
Предположим обратное: равенство $x^3+y^3=z^3$ имеет решения в натуральных числах при $x$ делящемся на $3^2$. Из этого следует, что должно существовать число $x=3^2x_2$, удовлетворяющее предполагаемому исходному равенству. Тогда должно существовать и число $x=3(3x_2)$, удовлетворяющее тому же равенству. Введём обозначение $3x_2=x_1$ и тогда получается, что должно существовать число $x=3(3x_2)=3x_1$, удовлетворяющее исходному равенству. Но это противоречит доказанному ранее – нет ни одного числа вида $x=3x_1$, а, следовательно, и числа $x_1$ , удовлетворяющего равенству $x^3+y^3=z^3$ . Тогда, так как по исходному предположению должно существовать число $x=3(3x_2)=3x_1$, а при доказанном отсутствии чисел $x_1$, удовлетворяющих равенству $x^3+y^3= z^3$, очевидно, равенство $x=3(3x_2)=3x_1$ выполняться не может, ясно. что нет и чисел $x_2$ и чисел $x=3^2x_2$ , удовлетворяющих предполагаемому исходному равенству. Отсюда и следует, что верно обратное – равенство $x^3+y^3= z^3$ не выполняется при $x$ делящемся на $3^2$.
Дед.

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #253706 писал(а):

Но это противоречит доказанному ранее – нет ни одного числа вида $x=3x_1$, а, следовательно, и числа $x_1$ , удовлетворяющего равенству $x^3+y^3=z^3$

Неправда. Это не доказано. Это упирается в мой вопрос, который повторяю. Вы сделали заявление, которое отказываетесь обосновывать.

ljubarcev в сообщении #252692 писал(а):

...Утверждение 8. Равенство $x^3+y^3=z^3$ не выполняется в натуральных числах при $x$ делящемся на $3$. Доказательство.
...
Таким образом, в равенстве $(2mgk)/3=(g^3-k^3)/9$ число справ – целое. В то же время число слева $(2mgk)/3$ при взаимно простых $g;k;m$ не делящихся в нашем случае на $3$ натуральных числах, очевидно, целым быть не может.


При этом $x=3mx_1$. Тот факт, что при этом $m;x_1$ не делятся на $3$ является очевидным следствием этого единственного ограничения.


b]shwedka[/b]:Очевидным не является. Докажите.
И Вы не имеете права здесь ссылаться на свое утверждение 8. Оно еще не доказано.

[Jnrty]

Jnrty:

Ввиду того, что обсуждение уже чрезвычайно долго топчется на одном месте вследствие явного нежелания ljubarcevа понять то, что ему объясняют, тему закрываю.
Открывать новую тему для обсуждения того же запрещаю.

[ljubarcev]

Доказано, что при взаимнопростых не делящихся на $3$ натуральных числах $g;k;m$ равенство $6mgk=g^3-k^3-3^3m^3$ не выполняется. Можно ли утверждать, что при этом число

$$\frac{g^3-k^3}{m}$$

не може быть целым натуральным ?
Любарцев.

[Хорхе]

Что значит, "при этом"?

Вообще говоря, оно может быть любым (целым) натуральным.

[jetyb]

Исправьте ошибку в названии темы. Похоже ошибки есть и в условии, так как
$\frac{g^3-k^3}{m}=6gk+27m^2$.

[gris]

А нет ошибки в формуле? Ведь можно много подобрать взаимно простых троек вида $(g;k;g-k)$
17 10 7
19 17 2...

[ljubarcev]

jetyb в сообщении #254729 писал(а):

Исправьте ошибку в названии темы. Похоже ошибки есть и в условии, так как
$\frac{g^3-k^3}{m}=6gk+27m^2$.

Уважаемый jetyb ! благодарю за внимание. Вы правы. В условии действительно ошибка. Упущен факт "числа $g;k$ не только не делятся на $3$, но и равноостаточны при этом. Доказательство приведено в теме "о сумме двух кубов".
Любарцев.