простые вида 4k+1 и сумма квадратов

[master]

VAL в сообщении #250417 писал(а):

Ответ на Ваш вопрос master'у неизвестен. И ему очень обидно это осознавать

Почему-же?
Один - это одинокое число
Когда-то давно оно было простое, потом его из простых выгнали.

[Виктор Ширшов]

maxal в сообщении #249988 писал(а):

Простое вида $4k+1$ всегда представимо в виде суммы двух квадратов.

Не всегда, а единственым образом. Добавлю, что это простое единственным образом представимо ещё и суммой двух кубов.

[Хорхе]

Виктор Ширшов в сообщении #251417 писал(а):

Добавлю, что это простое единственным образом представимо ещё и суммой двух кубов.

Вот это вряд ли, в школе меня учили, что

$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2). $$

Ааа, наверное, имеются в виду целые числа?
Но тогда все равно не все, а те, у которых $k=3a(4a-1)$.

[VAL]

Виктор Ширшов в сообщении #251417 писал(а):

maxal в сообщении #249988 писал(а):

Простое вида $4k+1$ всегда представимо в виде суммы двух квадратов.

Не всегда, а единственым образом.

Следую Вашей "логике": "Число 4 четно". "Нет. Число 4 является квадратом числа 2."

Цитата:

Добавлю, что это простое единственным образом представимо ещё и суммой двух кубов.

Правда?! Число 5 представьте, пожалуйста, суммой двух натуральных кубов.

PS: Знаю, по Вашим предыдущим постам, что вступать в спор с Вами бесполезно, но не удержался.

[Виктор Ширшов]

VAL в сообщении #251435 писал(а):

PS: Знаю, по Вашим предыдущим постам, что вступать в спор с Вами бесполезно, но не удержался.

maxal в сообщении #249988 писал(а):

Простое вида $4k+1$ всегда представимо в виде суммы двух квадратов.

Уважаемый, я только поправил maxal. Кстати, утверждение, что простое $4k+1$ единственным образом представимо суммой двух квадратов, принадлежит не мне, а Ферма.

Виктор Ширшов в сообщении #251417 писал(а):

Добавлю, что это простое единственным образом представимо ещё и суммой двух кубов.

Это моё.

Хорхе в сообщении #251431 писал(а):

Ааа, наверное, имеются в виду целые числа?
Но тогда все равно не все, а те, у которых $k=3a(4a-1)$.

Конечно же, речь идёт о целых числах.

[VAL]

Виктор Ширшов в сообщении #251450 писал(а):

maxal в сообщении #249988 писал(а):

Простое вида $4k+1$ всегда представимо в виде суммы двух квадратов.

Уважаемый, я только поправил maxal.

Утверждение maxal'а не нуждается в ваших поправках, поскольку оно верно. Если же речь идет об уточнении, то причем тут слово "нет"?

Цитата:

Виктор Ширшов в сообщении #251417 писал(а):

Добавлю, что это простое единственным образом представимо ещё и суммой двух кубов.

Это моё.

Кто бы сомневался!

Цитата:

Хорхе в сообщении #251431 писал(а):

Ааа, наверное, имеются в виду целые числа?
Но тогда все равно не все, а те, у которых $k=3a(4a-1)$.

Конечно же, речь идёт о целых числах.

Хорошо. Представьте, пожалуйста, число 5 в виде суммы кубов двух целых чисел.

[Алексей К.]

VAL, успокойтесь...

В Дискуссионных темах случилось невиданное затишье. А у Виктора Ширшова --- не случилось. Ну куда деваться? Посмотрел там, сям --- и вот! о счастье! $4k+1$! простые числа упомянуты! сумма квадратов!!!
Не сегодня-завтра дискуссионные ребята возьмут себя в руки, активизируются, и всё будет нормально. Как позавчера.

[age]

Виктор Ширшов
Никакое простое число не может быть представлено суммой двух кубов. Но вопрос интересный! В том смысле, что простое число может быть представлено суммой трех кубов! Предлагаю вам решить задачу: найти простые числа, которые могут быть или не могут быть представлены суммой трех кубов.

[maxal]

age в сообщении #251465 писал(а):

Никакое простое число не может быть представлено суммой ни двух, ни какого-либо другого количества кубов.

$$3=1^3+1^3+1^3$$

$$73=1^3+2^3+4^3$$

[age]

maxal
Как ни быстро я исправлял, не успел.

[Виктор Ширшов]

maxal в сообщении #249988 писал(а):

Простое вида $4k+1$ всегда представимо в виде суммы двух квадратов.

VAL в сообщении #251458 писал(а):

Утверждение maxal'а не нуждается в ваших поправках, поскольку оно верно.

Похоже на ..., заискивание.
Воспользуюсь таким примером: $5=1^2+1^2+1^2+1^2+1^2$.
На основе этого примера можно прийти к утверждению, что простое число вида $p=4k+1$ представимо суммой $p$ слагаемых, каждое из которых равно даже не $1^2$ или $1^3$, а $1^n$

[Бодигрим]

age в сообщении #251465 писал(а):

Предлагаю вам решить задачу: найти простые числа, которые могут быть или не могут быть представлены суммой трех кубов.

Отрицательные числа в основании кубов разрешены?

[age]

Бодигрим
Да. Но вообще-то бы хотелось, чтобы была именно сумма. Т.е. именно положительные числа. Подолью масла в огонь.

Теорема: суммой трех пятых степеней $a^5+b^5+c^5$ могут быть представлены лишь простые числа вида $22k\pm1, 22k\pm3$ и $22k\pm9$. Другие не могут.

В принципе я мог бы обобщить на любые $n$, кроме $3$ и $5$, но там возникают некоторые сложности.

[Бодигрим]

age в сообщении #252034 писал(а):

Но вообще-то бы хотелось, чтобы была именно строгая сумма. Т.е. именно положительные числа.

Слишком много контрпримеров: простых чисел, не представимых суммой трех кубов натуральных чисел. 7, 11, 13... С допуском отрицательных уже куда интереснее.

[age]

Бодигрим
Да конечно очень много! Но хотелось бы найти закон именно по простым числам, обладающих свойством, что они сумма трех кубов.
Я понял. Давайте попробуем! Но боюсь что результат будет тот же!