Ряды. 3 семестр.

[int13]

Начинаю очередную нубо-тему по рядам
1.
Найти сумму ряда:

$$ \sum\limits_{n = 2}^\infty {\ln \frac{{n^3 - 1}} {{n^3 + 1}}} $$

Пробовал прибавлять и отнимать двойку, вроде не помогло.
Пробовал записать в члены n2, n3, n4 и найти предел общего члена, но закономерности так и не уловил.
2.

$$ \sum\limits_{n = 2}^\infty {\left( {\frac{{(n^2 - 1)}} {{n^2 }}} \right)} ^{\frac{1} {{n^3 }}} $$

Узнать выполняется ли необходимое условие сходимости ряда.
Я так понял, нужно найти предел выражения при

$$ n \to \infty $$

В преобразованиях выражений я не силен, поэтому получил

$$ \left( {1 - \frac{1} {{n^2 }}} \right)^{\frac{1} {{n^3 }}} $$

3.
Определив порядок убывания общего члена исследовать сходимость ряда:

$$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt {n + 1} \ln \left( {ch\frac{1} {n}} \right)} $$

Тут я вообще не понял что за порядок и что с этим делать...

[gris]

2. Есть такой второй замечательгый предел.
3. Порядок убывания это эквивалентность некоторой степени $n$ на бесконечности

[ewert]

3. Использовать первые два члена формулы Тейлора для гип. косинуса, а потом первый член для логарифма.

1. Разложите дробь на шесть сомножителей, используя все комплексные корни. Потом удачно сгруппируйте их попарно, так чтобы в получившихся трёх рядах почти всё сокращалось.

-- Пн окт 12, 2009 10:45:51 --

gris в сообщении #251060 писал(а):

2. Есть такой второй замечательгый предел.

упс. Нету такого второго замечательного предела -- в данном случае. Есть просто единичка в нулевой степени.

[id]

1. Можно и просто разложить по формуле разностей кубов, заметить, что одна пара множителей сокращается очевидным образом, а другая как $\frac {n^2 + n + 1} {(n+1)^2 - (n+1) +1}$, если про комплексные корни не хочется думать.

[ewert]

id в сообщении #251162 писал(а):

одна пара множителей сокращается очевидным образом, а другая как $\frac {n^2 + n + 1} {(n+1)^2 - (n+1) +1}$

Хм. Идея-то понятна, но не буквально ж так.

Кстати, а как Вы это увидели?

[gris]

А я, например, это увидел , когда просто и без затей разложил логарифм на слагаемые и тупо выписал несколько первых членов:

$$\ln\dfrac{n^3-1}{n^3+1} = \ln (n-1) + \ln (n^2+n+1) - \ln (n+1) - \ln (n^2-n+1)$$

$$\sum\limits_{n=2}^\infty} \ln\dfrac{n^3-1}{n^3+1} = \ln 1+ \ln 7 - \ln 3 - \ln 3 + \quad \ln 2+ \ln 13 - \ln 4 - \ln 7 +\quad \ln 3+ \ln 21 - \ln 5 - \ln 13 + \cdots$$

Надо только посмотреть внимательно, какие логарифмы останутся.
Потом подумал, что можно бы и сумму логарифмов записать, как логарифм произведения. Надо, наверное, доказать вначале, что ряд сходится и всё это можно делать...

[RIP]

Это можно так увидеть:
$n^2+n+1=n(n+1)+1$
$n^2-n+1=(n-1)n+1$

[ewert]

RIP в сообщении #251295 писал(а):

Это можно так увидеть:
$n^2+n+1=n(n+1)+1$
$n^2-n+1=(n-1)n+1$

Да, так можно. Я просто на лету мысленно подставил плюс единичку в кубы (что, естественно, ничего не даёт) и с перепугу в неполные квадраты даже и не пробовал подставлять -- решил, что тем более ничего не выйдет.