2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряды. 3 семестр.
Сообщение12.10.2009, 09:11 
Аватара пользователя
Начинаю очередную нубо-тему по рядам :oops:
1.
Найти сумму ряда:
$$
\sum\limits_{n = 2}^\infty  {\ln \frac{{n^3  - 1}}
{{n^3  + 1}}} 
$$
Пробовал прибавлять и отнимать двойку, вроде не помогло.
Пробовал записать в члены n2, n3, n4 и найти предел общего члена, но закономерности так и не уловил.
2.
$$
\sum\limits_{n = 2}^\infty  {\left( {\frac{{(n^2  - 1)}}
{{n^2 }}} \right)} ^{\frac{1}
{{n^3 }}} 
$$
Узнать выполняется ли необходимое условие сходимости ряда.
Я так понял, нужно найти предел выражения при
$$
n \to \infty 
$$
В преобразованиях выражений я не силен, поэтому получил
$$
\left( {1 - \frac{1}
{{n^2 }}} \right)^{\frac{1}
{{n^3 }}} 
$$
3.
Определив порядок убывания общего члена исследовать сходимость ряда:
$$
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sqrt {n + 1} \ln \left( {ch\frac{1}
{n}} \right)} 
$$
Тут я вообще не понял что за порядок и что с этим делать...

 
 
 
 Re: Ряды. 3 семестр.
Сообщение12.10.2009, 09:21 
Аватара пользователя
2. Есть такой второй замечательгый предел.
3. Порядок убывания это эквивалентность некоторой степени $n$ на бесконечности

 
 
 
 Re: Ряды. 3 семестр.
Сообщение12.10.2009, 09:27 
3. Использовать первые два члена формулы Тейлора для гип. косинуса, а потом первый член для логарифма.

1. Разложите дробь на шесть сомножителей, используя все комплексные корни. Потом удачно сгруппируйте их попарно, так чтобы в получившихся трёх рядах почти всё сокращалось.

-- Пн окт 12, 2009 10:45:51 --

gris в сообщении #251060 писал(а):
2. Есть такой второй замечательгый предел.

упс. Нету такого второго замечательного предела -- в данном случае. Есть просто единичка в нулевой степени.

 
 
 
 Re: Ряды. 3 семестр.
Сообщение12.10.2009, 17:15 
1. Можно и просто разложить по формуле разностей кубов, заметить, что одна пара множителей сокращается очевидным образом, а другая как $\frac {n^2 + n + 1} {(n+1)^2 - (n+1) +1}$, если про комплексные корни не хочется думать.

 
 
 
 Re: Ряды. 3 семестр.
Сообщение13.10.2009, 09:00 
id в сообщении #251162 писал(а):
одна пара множителей сокращается очевидным образом, а другая как $\frac {n^2 + n + 1} {(n+1)^2 - (n+1) +1}$

Хм. Идея-то понятна, но не буквально ж так.

Кстати, а как Вы это увидели?

 
 
 
 Re: Ряды. 3 семестр.
Сообщение13.10.2009, 09:55 
Аватара пользователя
А я, например, это увидел , когда просто и без затей разложил логарифм на слагаемые и тупо выписал несколько первых членов:
$$\ln\dfrac{n^3-1}{n^3+1} = \ln (n-1) + \ln (n^2+n+1) - \ln (n+1) - \ln (n^2-n+1)$$
$$\sum\limits_{n=2}^\infty} \ln\dfrac{n^3-1}{n^3+1} = \ln 1+ \ln 7 - \ln 3 - \ln 3 + \quad \ln 2+ \ln 13 - \ln 4 - \ln 7 +\quad \ln 3+ \ln 21 - \ln 5 - \ln 13 + \cdots$$
Надо только посмотреть внимательно, какие логарифмы останутся.
Потом подумал, что можно бы и сумму логарифмов записать, как логарифм произведения. Надо, наверное, доказать вначале, что ряд сходится и всё это можно делать...

 
 
 
 Re: Ряды. 3 семестр.
Сообщение13.10.2009, 13:47 
Аватара пользователя
Это можно так увидеть:
$n^2+n+1=n(n+1)+1$
$n^2-n+1=(n-1)n+1$

 
 
 
 Re: Ряды. 3 семестр.
Сообщение13.10.2009, 17:00 
RIP в сообщении #251295 писал(а):
Это можно так увидеть:
$n^2+n+1=n(n+1)+1$
$n^2-n+1=(n-1)n+1$

Да, так можно. Я просто на лету мысленно подставил плюс единичку в кубы (что, естественно, ничего не даёт) и с перепугу в неполные квадраты даже и не пробовал подставлять -- решил, что тем более ничего не выйдет.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group