Множество

[daogiauvang]

Пусть$\delta$ действительное число таких, что:Для произвольного множества $A = (a_1 = 0, a_2 = 1, a_3, \cdots, a_{2009})$, где $0 \leq a_i \leq 1$ существует ее подмножество $A'$ такие, что разница между средствами Arithmetik $A'$ и $A- A'$ не меньше $\delta$.
Найти максимально возможную величину $\delta$.

[Профессор Снэйп]

Условие сформулировано очень неряшливо.

Запишите его, пожалуйста, как-нибудь более понятно. Если у Вас трудности с русским языком, сформулируйте дополнительно задачу по английски.

[RIP]

Да вроде бы почти понятное условие. Найти наибольшее возможное число $\delta$, для которого справедливо утверждение:
Для произвольного множества $A=\{a_1=0;a_2=1;a_3;\ldots;a_{2009}\}\subset[0;1]$ найдётся непустое подмножество $A'\subsetneq A$ такое, что средние арифметические значения элементов множеств $A'$ и $A\setminus A'$ отличаются не меньше чем на $\delta$.
Единственное, что непонятно: разрешаются ли повторяющиеся значения $a_j$, и если да, то в каком смысле понимаются средние арифметические (подозреваю, что на самом деле средние арифм. понимаются в смысле мультимножеств, т.е. без потери общности можно считать, что все $a_j$ различны).

[daogiauvang]

Как элементы множества повторяющиеся ??? Нет, конечно они различны

[nn910]

RIP в сообщении #250996 писал(а):

Да вроде бы почти понятное условие. Найти наибольшее возможное число $\delta$, для которого справедливо утверждение:
Для произвольного множества $A=\{a_1=0;a_2=1;a_3;\ldots;a_{2009}\}\subset[0;1]$ найдётся непустое подмножество $A'\subsetneq A$ такое, что средние арифметические значения элементов множеств $A'$ и $A\setminus A'$ отличаются не меньше чем на $\delta$.

$ \delta= \frac {2009}{4016}$
Не меньше- из рассмотрения A'={0} и A'={1}, один из этих вариантов годится.
Не больше- взять универсальное А с числами(кроме первых двух фиксированных автором) 0,5 или очень близкими к 0,5 и для него достигается или очень близко .

[daogiauvang]

Я поставил $A'=0$ или $A'=1$. Среднее значение $A'=1;0$
И среднее значение $A=\frac{a_3+a_4+...+a_{2009}+1}{2008}$ для $A'=0$
$A=\frac{a_3+a_4+...+a_{2009}}{2008}$ для $A'=1$
И разность между ними не меньше $\delta$ если они вблизи единицы.

[nn910]

Я уточню,хотя ошибок пока не вижу. Если среднее значение всего набора<0,5 берется A'={1};иначе A'={0}Вот так все просто :)

[daogiauvang]

Понятно, вроде Вы правильно задали ответ но это уже не доказательство...

[nn910]

Ну ладно напишу доказательство. Обозначим а среднее арифметическое всех 2009 чисел. Из-за симметрии задачи относительно преобразования х-->(1-x) посмотрим только случай $a\geq 0,5$ Тогда среднее арифметическое 2008 чисел кроме нуля $2009a/2008 \geq 2009/4016=\delta$
Покажем,что в задаче где повторения допускаются ,достигается это значение. 0;1;2007 чисел по 0,5.Если в разбиении не менее 2 элементов в каждой части,то их средние между 0,25 и 0,75 -меньше $ 2009a/4016=\delta$ а остальные 3 случая считаются, и в двух из них достигается.
Функция 2007 переменных : максимум разности средних арифметических по всем разбиениям -непрерывная на 2007мерном кубике. Супремум ее на кубике мы нашли. Теперь из области поиска супремума выбросили нигде не плотное множество ("две из переменных совпадают либо одна совпадает с концом"). Супремум сохранится тот же,но не обязан достигаться