Пифагоровы тройки

[Somewhere far beyond]

Задачка в принципе простая, требует лишь умения пользоваться элементарными алгебраическими формулами, почему и не выложил в олимпиадные, но в литературе такого типа не встречал.

Условие следующее:

Найти все Пифагоровы тройки, содержащие квадрат числа $666$.

ПП не допустим, использовать ЭВМ запрещено, только непрограммируемый калькулятор.

[Yu_K]

Попробуйте представить число в виде $2mn$, $m^2+n^2$ и $m^2-n^2$.

[Somewhere far beyond]

Неверно, если так последуем то некоторые тройки потеряем.

[Yu_K]

Это же для начала было предложено. Здесь все базисные - остальные с точностью до множителя - например $(3,4,5)$ порождает $(6,8,10)$ , $(9,12,15)$ ... и такие
$(666*666,8*111*666,10*111*666)$
$(666*666,4*222*666,5*222*666)$
$(3*222*222,666*666,5*222*222)$...
Ну и еще надо показать, что $666^4$ не раскладывается на сумму двух квадратов - нету там вроде $4p+1$...

Однако и выбрали вы число... нет чтоб как все к Новому году выбирают 2009, 2010...

[Хорхе]

Yu_K в сообщении #250863 писал(а):

Ну и еще надо показать, что $666^4$ не раскладывается на сумму двух квадратов - нету там вроде $4p+1$...

Это что-то значит?

[Yu_K]

То Батороев
Топикстартер хотел $a=666^2$ или $b=666^2$ или $c=666^2$, а не $a=666$ и тд.

Somewhere far beyond в сообщении #250823 писал(а):

Найти все Пифагоровы тройки, содержащие квадрат числа $666$.

То Хорхе
http://dxdy.ru/topic25618.html

[Батороев]

Yu_k
Я убрал свое сообщение, т.к. обратил внимание, что фактически дублирует Ваше.

Yu_K в сообщении #250824 писал(а):

Попробуйте представить число в виде $2mn$

Как мне кажется, в данном случае необходимо разложить квадрат числа $666^2$ на два четных множителя.

Насчет того, что топикстартер имел в виду тройки с $ (666^2)^2$ что-то сомневаюсь. Для калькулятора малоподъемно.
Впрочем, давайте переспросим?

[Yu_K]

То Батороев
Калькулятора достаточно - поскольку работаете с разложениями на простые множители. Посмотрите что такое ПТ например http://www.math.rutgers.edu/~erowland/t ... -long.html или на вольфрамовском сайте.

[Хорхе]

Yu_K в сообщении #250886 писал(а):

То Хорхе
http://dxdy.ru/topic25618.html

Все равно не понимаю, как это связано с "нету там $4p+1$" (?)

[Батороев]

Yu_K в сообщении #250890 писал(а):

То Батороев
Калькулятора достаточно - поскольку работаете с разложениями на простые множители. Посмотрите что такое ПТ например http://www.math.rutgers.edu/~erowland/t ... -long.html или на вольфрамовском сайте.

Посмотрел и что? Выписаны примитивные пифагоровы тройки. Как это связано с задачей?

[Yu_K]

Для Хорхе. Разложите $666^2$ на простые множители - там будет 2,3,37 - ни один из сомножителей не представим в виде $4p+1$, где $p$ - простое. Значит никакая степень числа 666 не может быть представлена в виде суммы двух квадратов.

То Батороев Я только определение ПТ напомнил в ссылке, чтоб не переспрашивать топикстартера о квадрате.

А вот что такое ПП

Somewhere far beyond в сообщении #250823 писал(а):

ПП не допустим

- я не знаю, Полный Перебор, или еще какой-нибудь Полный...

[Хорхе]

Yu_K в сообщении #250901 писал(а):

Для Хорхе. Разложите $666^2$ на простые множители - там будет 2,3,37 - ни один из сомножителей не представим в виде $4p+1$, где $p$ - простое. Значит никакая степень числа 666 не может быть представлена в виде суммы двух квадратов.

Спасибо, конечно, но где Вы такую чушь вычитали или Вы сами ее придумали?

$$ 2\cdot 49 = 49+49, $$

например.

-- Вс окт 11, 2009 16:34:35 --

In fact,

$$ \gathered 216^2 + 630^2 = 666^2,\\ 143856^2 + 419580^2 = 272160^2 + 350244^2 = 666^4. \endgathered $$

[RIP]

Потому что $37=4\cdot9+1$.

[Хорхе]

Ну да, именно.

[Yu_K]

То Хорхе. Конечно, там надо поправить - смотрел КВН - и пытался дискутировать - полностью согласен с Вашей формулировкой - чушь написана мною. Ну, не Юлий Цезарь - поторопился...
Латвия, мы же жили с Вами в одной стране..., вы то - нет, а мы то - да.

Primes of the form $4*x+1$, but not numbers of form $4*p+1$ with prime $p$

http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html
The first few primes of the form $4*x+1$ are 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, ... (Sloane's A002144)

Ну и естественно $c$ может равняться $666^2$.