Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

[kan141290]

Здравствуйте.
Нужно решть 2 дифференциальных уравнения:
$\frac{dy}{dx}-7y=2+5e^9^x$
$\frac{dy}{dx}-7y=2+5e^9^x-4e^7^x+3\cos(2+3x)-11x$

Первое пытался решить с помощью метода специальной правой части (если правильно его понял)
$\frac{dy_1}{dx}=7y_1+2$
$y_1=-\frac{2}{7}$
$\frac{dy_2}{dx}=7y_1+5e^9^x$
$y_2=ae^9^x$
$7y+5e^9^x=7ae^9^x+5e^9^x=(7a+5)e^9^x$
$9a=7a+5$
$a=\frac{5}{2}$
$y_2=\frac{5}{2}e^9^x$
$\frac{d(y_1+y_2)}{dx}=7(y_1+y_2)+2+5e^9^x$
$y-(y_1+y_2)=C*e^7^x^+^c^_1$
$y=y_1+y_2+C*e^7^x^+^c^_1$
$y=\frac{5}{2}e^9^x-\frac{2}{7}+C*e^7^x^+^c^_1$
Правильно решено уравнение или нет?
Как можно решить 2 уравнение?
Заранее, спасибо.

[gris]

Даже не знаю, что сказать
Ответ правильный (можно без $c_1$)
Решайте стандартно: вначале однородное уравнение $y'-7y=0$
Потом к общему решению добавляйте частные для каждого слагаемого правой части, которые имеют специальный вид и решения для них приведены в таблицах.

[kan141290]

Ответ на 2 уравнение должен быть таким?
$y=e^7^xC_1-2x+C_2+\frac{5}{9}+C_3-\frac{4}{7}e^7^x+C_4+\sin(2+3x)+C_5-\frac{11}{2}+C_6$

[ИСН]

Непозволительно много букв.

[kan141290]

А если так?
$y=e^7^xC_1-2x+\frac{5}{9}-\frac{4}{7}e^7^x+\sin(2+3x)-\frac{11}{2}+C_2$

[gris]

Нет. Константа $C$ будет только одна - в общем решении $Ce^{7x}$.
Остальное = BSC.
Найдите частные решения для каждого слагаемого. Два уже есть в первом задании. Есть некоторая особенность у третьего слагаемого.

[ИСН]

Так чуть лучше, но всё равно много. Приведите подобные, наконец.

[gris]

Букв мало. Где частное решение для $-4e^{7x}?$

[kan141290]

Для $-4e^7^x$ частное решение $y=-2e^7^x$
Для $-11x$ частное решение $y=\frac{11}{6}$
Для $3\cos(2+3x)$ не пойму как найти частное решение.

[gris]

Подставьте Ваши решения в уравнение.
Ни одно не верно.

$(-2e^{7x})'-7(-2e^{7x})=0$, а не $-4e^{7x}$

$(11/6)'-7(11/6)=-77/6$, а не $11x$

Посмотрите в учебник V.V. стр. 95.

[kan141290]

gris в сообщении #250625 писал(а):

Посмотрите в учебник V.V. стр. 95.

А где найти этот учебник?

[gris]

http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/
Надеюсь, V.V. не будет ругаться.
А Вы откуда брали частные решения для первой задачи? Вот там и посмотрите.

[kan141290]

Для $-11x$ частное решение $y=\frac{11}{49}+\frac{11}{7}x$
В ходе поиска частного решения для $-4e^{7x}$ у меня получилась такая ситуация, что 4=0. Что это означает? Или я опять что-то не так сделал?
С косинусом так ничего и не получилось.

[gris]

Показатель степени $k=7$ у правой части вида $e^{kx}$ совпадает с однократным корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде $axe^{7x}$. Подставим в уравнение.
$(axe^{7x})'-7axe^{7x}=-4e^{7x}$

$ae^{7x}+7axe^{7x}-7axe^{7x}=-4e^{7x}$

$ae^{7x}=-4e^{7x}$

$a}=-4$

Частное решение $y=-4xe^{7x}$

частное решение для $y'-7y=3\cos(2+3x)$ поищите в виде
$y=a\cos(2+3x)+b\sin(2+3x)$

[ewert]

kan141290 в сообщении #250676 писал(а):

Для $-11x$В ходе поиска частного решения для $-4e^{7x}$ у меня получилась такая ситуация, что 4=0. Что это означает?

Это означает, что Вы наткнулись на резонанс -- коэффициент в показателе экспоненты совпадает с корнем характеристического уравнения. В данном случае доктора прописывают умножение экспоненты на икс.

А вообще Вам правильно и недвусмысленно советуют: прежде чем браться за уравнения -- почитайте какой-нибудь учебник. Это бывает полезно.