ЕГЭ- С6, уравнение

[Kuzya]

Уважаемые! Подскажите, на милость, идею.
Доказать,что нет таких рациональных$x,y,u,v$, что
${(x+y\sqrt{2})}^6 +{(u+v\sqrt{2})}^6 = 7+5\sqrt{2}$
Моей смекалки хватило на то, чтобы углядеть справа куб числа $1+\sqrt{2}$

[RIP]

Если бы нашлись, то равенство $(x-y\sqrt2)^6+(u-v\sqrt2)^6=7-5\sqrt2$ тоже выполнялось.

[Shtirlic]

Я предлагаю такой вариант, раскрывай все скобки, затем выражай корень из двух через свои переменные и там все будет видно. Делай, если что потом дальше подскажу!!!

[nn910]

RIP в сообщении #250321 писал(а):

Если бы нашлись, то равенство $(x-y\sqrt2)^6+(u-v\sqrt2)^6=7-5\sqrt2$ тоже выполнялось.

Так все решено,тут правая часть <0.
Kuzya а по какой ссылке можно узнать что это ЕГЭ-С6.Один из тренажеров мне другую дал под этим номером

[Shtirlic]

Rip,
Не подскажешь откуда берется это утверждение?

[ewert]

При раскрытии скобок слева корень из двух остаётся только при вычислении нечётных степеней вторых слагаемых, все остальные слагаемые будут рациональными.

[gris]

Кстати, обычный школьник в выражении $7+5\sqrt2$ куб разглядит не сразу, а вот про $7+5\sqrt 2= \dfrac {-1}{7-5\sqrt 2}$ догадается легко.
При раскрытии скобок получим выражение $A+B\sqrt 2=0$
И придётся доказывать, что $A \mbox{ и }B\neq 0$ одновременно при...
Большинство же просто ограничится тем, что напишет $\sqrt 2= A/B$ - рациональное число, атакогонеможетбыть.

[srider0000]

Понятно, что можно в лоб раскрыть скобки, сгруппировать слагаемые, чтобы получть выражение $A(x,y,u,v)+B(x,y,u,v)\sqrt2=0$.Но это убиться можно раскрывать скобки.
Как всё-таки придти к тому, что если допустить, что в исходном равенстве x,y,u,v - рациональные, то выполняется $(x-y\sqrt2)^6+(u-v\sqrt2)^6=7-5\sqrt2$?

[ИСН]

Никто и не раскрывал скобки. Это очевидно. Чётные направо, нечётные налево.

[gris]

А минус не потерялся?

[srider0000]

srider0000 в сообщении #250473 писал(а):

Как всё-таки придти к тому, что если допустить, что в исходном равенстве x,y,u,v - рациональные, то выполняется $(x-y\sqrt2)^6+(u-v\sqrt2)^6=7-5\sqrt2$?

Ответьте, пожалуйста, на этот вопрос, если можно.

[RIP]

Просто для рациональных $a,b,c,d,e,f$ из $(a+b\sqrt2)\circ(c+d\sqrt2)=e+f\sqrt2$ следует $(a-b\sqrt2)\circ(c-d\sqrt2)=e-f\sqrt2$, где $\circ$ --- это $+$ или $\cdot$. Проверяется в лоб. Отсюда всё следует.

[Kuzya]

AKM.RIP Спасибо!
nn910 Задача одного из сборников для подготовки к ЕГЭ производства ФИПИ.
А рациональность появилась, как я понимаю, для запудривания мозгов

[Shtirlic]

RIP
Что то я у тебя в примере степеней не вижу.

-- Сб окт 10, 2009 18:59:39 --

RIP
Хотя все, понял, это утверждение действительно выполняется, и когда слагаемые (множители) в каких либо степенях, не обязательно одинаковых.

[gris]

А я так и не понял, как школьник это может доказать. На основе школьного курса математики.