Math Hacks (техника быстрых устных вычислений)

[meduza]

Алексей К.
Это уже больше для фокусов полезно, в реальной жизни врядли такое понадобится. Кстати, о вычислительных фокусах -- помниться был способ быстро находить кубические корни из кубов целых чисел, причем даже из длинных-многозначных. Не помню подробностей, но основывается на том, что последнюю цифру корня можно однозначно определить по последней цифре исходного числа, а начальная часть как-то тоже просто находится, надо лишь заучить диапазоны. Несмотря на то, что в детстве разыгрывал так всех, вычисляя корень быстрее калькулятора, но к настоящему моменту все забыл. Думаю, в интернете можно найти, если поискать хорошенько.

[Алексей К.]

Профессор Снэйп в сообщении #250200 писал(а):

В чём прикол?

Ну, я тут на днях уже как-то вякнул --- "а чо его смотреть, в новостях счёт сказали --- 4:2". До сих пор зуб болит.
Ну давайте, если никто не проболтается, завтра законспирируюсь под чужим ником и напишу. С сохранением прав на пузырик.

[Профессор Снэйп]

Алексей К. в сообщении #250203 писал(а):

Ну, я тут на днях уже как-то вякнул --- "а чо его смотреть, в новостях счёт сказали --- 4:2".

Ха! Если счёт 4:2, то смотреть однозначно стоит, несмотря на то, что результат известен. А вот со счётом 0:0 совсем другое дело

-- Пт окт 09, 2009 00:43:00 --

P. S. Я тут немного поумножал 142857143 на однозначные числа на калькуляторе, там какие-то перестановки цифр получаются. Всё странно и весьма загадочно. Без пузырика не разберёшься

[jetyb]

Алексей К.,
142857143 - это десятичная запись $\frac{1}{7}$ .
И за это Вы хотите пузырь? Я ожидал большего

[Бодигрим]

jetyb в сообщении #250184 писал(а):

Вспоминаются такие приемы:
$1007\cdot 1007=1000000+1400+49=1001449$

$1007\cdot 1007=1000000+14000+49=1014049$

[chainreaction]

Для быстрого умножения в уме близких чисел есть интересная техника с опорными номерами и кружочками:
http://www.virtual.net.au/~bhandley/lua2.htm (по англицки)
Это пример из книги http://www.amazon.com/Speed-Mathematics ... im_b_3_img
она целиком состоит из этих самых math hacks. Например далее в ней автор рассказывает о технике с двумя опорными номерами, удобной когда перемножаемые не близки.

Способ с кружочками идеально подходит для предыдущего примера.

$1007\cdot 1007= 1000\cdot1014 + 49$

Для квадратов в той книге приводятся и другие приемы. Например квадрат чисел оканчивающихся на 5.

$25\cdot 25 = (2\cdot 3)25 = 625$
$35\cdot 35 = (3\cdot 4)25 = 1225$
$45\cdot 45 = (4\cdot 5)25 = 2025$
Простите за ребус )

Этот способ можно обобщить на быстрое перемножение двузначных чисел, последние цифры которых в сумме дают 10.


Вообще на западе эта тема очень популярна, о чем говорит количество литературы на Амазоне.

[meduza]

chainreaction в сообщении #250390 писал(а):

Например квадрат чисел оканчивающихся на 5 [...] Этот способ можно обобщить на быстрое перемножение двузначных чисел, последние цифры которых в сумме дают 10.

На первой странице это уже было

[Proghat]

Знаю, что есть способ угадать корни квадратного уравнения, если старший коэффициент не равен 1. Напомните?

[meduza]

Proghat
Теорема Виета?

[Proghat]

meduza в сообщении #250457 писал(а):

Теорема Виета?

Теорема Виета помогает быстро подобрать целые корни. Если старший коэффициент не равен еденице, то подбирать сложно. Для этого есть какой-то способ. Я о нем слышал, но, к сожалению, не запомнил .

[ewert]

Proghat в сообщении #250458 писал(а):

Если старший коэффициент не равен еденице, то подбирать сложно. Для этого есть какой-то способ. Я о нем слышал, но, к сожалению, не запомнил

Да ровно так же, но с обобщением. Числитель корня должен быть делителем свободного члена, а знаменатель -- делителем старшего коэффициента.

[chainreaction]

meduza в сообщении #250451 писал(а):

На первой странице это уже было

Прошу прощения!


Еще интересные трюки про умножение. Скорее всего в любой старой книги по технике вычислений есть фраза о том, что что-то посчитать это только половина дела. Вторая половина проверить ответ и желательно сделать это другим способом. В случае умножения и сложения есть такая техника которая по англицки называется casting out nines, прошу прощения знатоков но как в нашей литературе она называется не знаю.

Суть в том, что перемножаемым числам по определенному правилу ставятся в соответствие другие числа которые затем перемножаются. Результат должен совпасть с тем числом, которое ставится в соответствие настоящему ответу по тому же правилу.

Правило таково - многозначному числу сопоставляется сумма цифр во всех его разрядах. Если сумма опять многозначна, то опять проводим такое сопоставление, пока не получим однозначное число.

Пример: мы уже установили, что $1007\cdot 1007 = 1014049$
Проверим, не допустили ли мы ошибок? Начнем с правой части $1014049 \to 1+0+1+4+0+4+9 = 19 \to 1+9 = 10 \to 1$
Левая часть: $ 1007 \to 1+0+0+7 =8$
Производим перемножение: $8\cdot8 = 64 \to 6+4= 10 \to 1$

Итак $1=1$ Ошибки не было скорее всего, есть тонкость -- это необходимое, но не достаточное условие.
Но на практике не подводило.

Со сложением способ тоже работает.

Почему он называется casting out nines -- вычеркивание девяток? Потому, что девятки в "настоящих" числах при нахождении "проверочных" чисел можно не учитывать, что очень ускоряет проверку.

Пример: $1014049 \to 1+0+1+4+0+4+9 = 1 + 9 =10 \to 1$ видно сразу, что последнюю девятку можно вычеркнуть, 1, 4 и 4 также можно вычеркнуть, так как в сумме они дадут 9, и сразу получится 1.

[chainreaction]

meduza в сообщении #250201 писал(а):

Алексей К.
Кстати, о вычислительных фокусах -- помниться был способ быстро находить кубические корни из кубов целых чисел, причем даже из длинных-многозначных. ...
Думаю, в интернете можно найти, если поискать хорошенько.

http://mathforum.org/library/drmath/view/65174.html
Пишут, что для этого надо выучить кубы от 1 до 19

[Proghat]

Подбор корней неприведенного квадратного уравнения.

Есть уравнение $ax^2+bx+c$. Для того, чтобы подобрать его корни, нужно сперва подобрать $t_1$ и $t_2$ такие, что $t_1t_2=ca$, и $t_1 + t_2 = -b$. Тогда $x_1=\frac{t_1}{a}$ и $x_2=\frac{t_2}{a}$

(PAV) исправлена опечатка $b$ -> $-b$

[meduza]

Proghat
Вообще-то сумма $t_1+t_2$ должна быть $-b$. Это называется теорема Виета (http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Виета).

chainreaction в сообщении #251874 писал(а):

Пишут, что для этого надо выучить кубы от 1 до 19

Можно только до 10: http://arbuz.uz/t_kub.html. Аналогичный способ есть и для корней пятой степени, поскольку и в этом случае последняя цифра цорня однозначно определяется из последней цифры исходного числа, а остальная часть находится из выученных диапазонов.