Доказать значение предела последовательности по определению.

[Mitrius_Math]

Нужно доказать, пользуясь определением предела последовательности, что \lim_{n\rightarrow\infty} {\frac {n-1} {n}}=1. Определение таково:
(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=a)\Leftrightarrow(\forall \varepsilon \exists N_\varepsilon: \forall n\geq N_\varepsilon \to |x_n-a|< \varepsilon).
Получается так:
(\lim_{n\rightarrow\infty} {\frac {n-1} {n}}=1)\Leftrightarrow(\forall \varepsilon \exists N_\varepsilon: \forall n\geq N_\varepsilon \to |\frac {-1} {n}|< \varepsilon)
А что делать дальше? Подскажите, пожалуйста.

[Maslov]

Mitrius_Math в сообщении #249970 писал(а):

А что делать дальше? Подскажите, пожалуйста.

Осталось только выразить $N_\varepsilon$ через $\varepsilon$.

[Mitrius_Math]

Maslov в сообщении #249972 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #249970 писал(а):

А что делать дальше? Подскажите, пожалуйста.

Осталось только выразить $N_\varepsilon$ через $\varepsilon$.

Знать бы ещё, как это сделать...
На уровне интуиции я понимаю определение предела последовательности, но эту задачу решить не могу.

[Sasha2]

Осталось только сказать, что если мы возьмем номер N настолько большим, что 1/N будет меньше Вашего епсилон (что всегда можно согласно аксиоме Архимеда), то для всех n, больших данного N, и подавно будет выполняться написанное Вами неравенство.

[Maslov]

Так Вы же уже почти всё сделали.
У Вас есть значение $\varepsilon$. Надо по этому значению $\varepsilon$ найти такое значение $N_\varepsilon$, что как только $n > N_\varepsilon$, так сразу $|\frac {1} {n}|< \varepsilon$.

[Mitrius_Math]

Maslov в сообщении #249975 писал(а):

У Вас есть значение $\varepsilon$.

Где оно?

Maslov в сообщении #249975 писал(а):

Надо по этому значению $\varepsilon$ найти такое значение $N_\varepsilon$...

Как?

[Cave]

Нужно доказать, что что-то верно для любого $\varepsilon > 0$. Это значит, что какое бы значение вам не дали, вы сможете доказать для этого $\varepsilon$ утверждение.
Например, вам дают $\varepsilon = 1/100$. Как выглядит тогда утверждение и как его доказать? Какое число $N_{\varepsilon}$ можно взять?

[ewert]

Mitrius_Math в сообщении #249977 писал(а):

Maslov в сообщении #249975 писал(а):

У Вас есть значение $\varepsilon$.

Где оно?

Maslov в сообщении #249975 писал(а):

Надо по этому значению $\varepsilon$ найти такое значение $N_\varepsilon$...

Как?

"Найти $N_{\varepsilon}$" -- это значит фактически просто решить неравенство $\left|{-1\over n}\right|<\varepsilon$ относительно $n$.

[Maslov]

ewert в сообщении #250002 писал(а):

"Найти $N_{\varepsilon}$" -- это значит фактически просто решить неравенство $\left|{-1\over n}\right|<\varepsilon$ относительно $n$.

Очень хотелось, чтобы топикстартер сам сделал этот шажок.

[ewert]

Определение предела -- логически сравнительно сложная конструкция, и с непривычки действительно может быть непонятно, в какую сторону думать.

[Mitrius_Math]

Всё-таки я не понял...
Попробую начать сначала и рассмотреть другую последовательность.
$\lim_{n\rightarrow\infty}({2-\frac{1}{3n}})=2$
$(\lim_{n\rightarrow\infty}({2-\frac{1}{3n}})=2)\Leftrightarrow (\forall\varepsilon >0 \exists N_\varepsilon: \forall n\geq N_\varepsilon \rightarrow \left|\frac{-1}{3n}} \right| <\varepsilon)$

Мне непонятно, как $N_\varepsilon$ зависит от выбора $\varepsilon$.

[Maslov]

По определению предел указанной последовательности равен 2 тогда и только тогда, когда по любому $\varepsilon$ мы можем указать такой $N_\varepsilon$, начиная с которого все члены последовательности оказываются в интервале $(2-\varepsilon, 2+\varepsilon)$.

Например, возьмем $\varepsilon = 1/3$. Условие предела в этом случае будет иметь вид
$2-\frac{1}{3} < 2- \frac{1}{3n} < 2+\frac{1}{3}$
Решением этой системы неравенств является $n >= 2$.
Т.о., по $\varepsilon = 1/3$ мы нашли значение $ N_\varepsilon=2$

Теперь возьмем какое-нибудь другое значение $\varepsilon$, например, $\varepsilon = 1/9$. Условие предела в этом случае будет иметь вид
$2-\frac{1}{9} < 2- \frac{1}{3n} < 2+\frac{1}{9}$
Решением этой системы неравенств является $n >= 4$.
Т.о., по $\varepsilon = 1/9$ мы нашли значение $ N_\varepsilon=4$

Ну а теперь возьмем произвольное значение $\varepsilon$
Условие предела в этом случае будет иметь вид
$2-\varepsilon < 2- \frac{1}{3n} < 2+\varepsilon$
Решением этой системы неравенств является $n > \frac {1}{3\varepsilon}$.
Т.о., для произвольного $\varepsilon$ мы смогли указать значение $ N_\varepsilon (=$ минимальное целое большее $\frac {1}{3\varepsilon}$), начиная с которого все члены последовательности оказываются в интервале $(2-\varepsilon, 2+\varepsilon)$.
А это как раз и означает, что предел указанной последоваетельности равен 2.

-- Пт окт 09, 2009 01:48:56 --

На самом деле, это легче понять, если в системе координат нарисовать область
$2-\varepsilon < y < 2+\varepsilon$
(это будет полоса, параллельная оси x) и нанести на график первые члены Вашей последовательности.
Начиная с некоторого номера, все члены последовательности окажутся в этой полосе, причем, чем меньше $\varepsilon$ (т.е., чем уже полоса), тем этот "некоторый номер" будет больше.

[TOTAL]

Mitrius_Math в сообщении #250250 писал(а):

Всё-таки я не понял...
Попробую начать сначала и рассмотреть другую последовательность.
$\lim_{n\rightarrow\infty}({2-\frac{1}{3n}})=2$
$(\lim_{n\rightarrow\infty}({2-\frac{1}{3n}})=2)\Leftrightarrow (\forall\varepsilon >0 \exists N_\varepsilon: \forall n\geq N_\varepsilon \rightarrow \left|\frac{-1}{3n}} \right| <\varepsilon)$

Мне непонятно, как $N_\varepsilon$ зависит от выбора $\varepsilon$.

Вот так $\left|\frac{-1}{3N_\varepsilon}} \right| \approx \varepsilon$

[Mitrius_Math]

Кажется, я начинаю понимать... Если не трудно, проверьте моё решение. Правильны ли мои рассуждения?
Возьмём произвольную последовательность, например, $\frac{10n-3}{5n-2}$. Вычислим её предел.

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{10n-3}{5n-2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{10-\frac{3}{n}}{5-\frac{2}{n}}}=\frac{10}{5}=2$

Теперь докажем его значение, пользуясь определением предела последовательности.

$(\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}}=a) \Leftrightarrow (\forall\varepsilon>0) (\exists N_\varepsilon: \forall n\geq N_\varepsilon \rightarrow \left|x_n-a \right|<\varepsilon)$

$\left|x_n-a \right|=\left|\frac{10n-3}{5n-2}-2 \right|=\left|\frac{10n-3-2(5n-2)}{5n-2} \right|=\left|\frac{10n-3-10n+4}{5n-2} \right|=\left|\frac{-1}{5n-2} \right|=\frac{1}{5n-2}$

$\frac{1}{5n-2}<\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{1+2\varepsilon}{5\varepsilon}$

$N_\varepsilon=\frac{1+2\varepsilon}{5\varepsilon}$

Возьмём $\varepsilon=1$, тогда $N_\varepsilon=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$

Пусть $n=2>N_\varepsilon$. Значит, $\frac{1}{5n-2}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{10-2}<1 \Leftrightarrow \frac{1}{8}<1$. Что и требовалось доказать.

[gris]

Корректнее
$N_\varepsilon=\big[ \frac{1+2\varepsilon}{5\varepsilon}\big ] +1$, хотя это неважно. Просто словами часто говорят "найдётся такой номер члена последовательности..."