Автоморфизм моделей

[Bec0o1]

Ммм, надеюсь кто-нибудь еще не спит. Вроде сначала понял, как решается задача, но сейчас опять торможу. Есть (N; | ), N - нат. числа, | - бинарное отношение, истинное, когда один элемент делит второй. Надо показать, что не сущ. ф-лы, истинной на элементе 2. (заметьте, в сигнатуре нет числа 2)
Берем некий автоморфизм нашей модели. Насколько я понимаю, то при автоморфизме модель остается та же самая и все, что меняется, это порядок элементов. Также сохраняются операции. Т.е. если у нас есть предикат, выделяющий двойку на, грубо говоря, N' |= Ф(2) (хотя модель будет все та же N?, т.е. не fi:N'->N'', a fi:N->N), то он должен работать и на N'' |= Ф(fi(2)), но т.к. модель та же самая, то N'' |= (2), чего быть не может. (если конечно мы не оставим двойку на месте) И что-то тут я опять запутался. Попробуйте пояснить, пожалуйста, ведь решение вроде бы верное, но ясности в голове нет.

ЗЫ извините за написанные по-басурмански формулы.

[Xaositect]

Вы как-то путано про автоморфизмы говорите. Автоморфизмом в этом случае будет взаимно-однозначное отображение $\varphi\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, где $a|b \Leftrightarrow \varphi(a)|\varphi(b)$

[Профессор Снэйп]

Ну, идея верная. Любая перестановка простых чисел задаёт некоторый автоморфизм, так что формула, истинная на одном каком-то простом числе, будет истинна и на всех других простых числах.

-- Вт окт 06, 2009 12:01:47 --

Bec0o1 в сообщении #249372 писал(а):

Надо показать, что не сущ. ф-лы, истинной на элементе 2.

Формулировка задачи, безусловно, нуждается в коррекции. Вероятно, топик-стартеру нужно доказать, что не существует формулы, истинной только на числе $2$ и ложной на других числах

[Bec0o1]

Профессор Снэйп в сообщении #249398 писал(а):

Формулировка задачи, безусловно, нуждается в коррекции. Вероятно, топик-стартеру нужно доказать, что не существует формулы, истинной только на числе $2$ и ложной на других числах

Эммм, конечно, так в задаче и написано, это я коряво изложил. =) Другой вопрос как заполнить этот автоморфизм. Есть идея факторизировать каждое число и как-то их переставить. Вопрос в том, как в точности.

[Профессор Снэйп]

А что непонятного-то? Пусть $\varphi$ --- произвольная перестановка простых чисел. Для каждого натурального $n$ существуют простые числа $p_1,\ldots,p_k$, такие что $n = p_1 \cdot \ldots \cdot p_k$. Ну и полагайте $\varphi(n) = \varphi(p_1) \cdot \ldots \cdot \varphi(p_k)$.