Асимптотика функции Бесселя

[tkm]

Подскажите, пожалуйста, асимптотику и поведение вблизи нуля функции Бесселя чисто мнимого индекса!
Заранее спасибо!

[maxal]

http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html и далее по ссылкам.

[tkm]

Если я правильно понял, обычные асимптотические формулы остаются верными и при комплексном индексе?

[V.V.]

Рассмотрим уравнение
$y''+(1+\varphi(x))y=0,\qquad \varphi(x)\in C_{[x_0,+\infty)}. $

Имеет место первая теорема о синусоидальной асимптотике

Пусть $\int\limits_{x_0}^{+\infty} |\varphi(x)|dx<+\infty$. Тогда существует
фундаментальная система решений $y_1(x)$, $y_2(x)$ уравнения, допускающая
при $x\to+\infty$ асимптотическое представление вида
$y_1=\sin{x}+{\cal O}\biggl(\int\limits_x^{+\infty} |\varphi(t)|dt\biggr),\qquad y_2=\cos{x}+{\cal O}\biggl(\int\limits_x^{+\infty} |\varphi(t)|dt\biggr).$
При этом
$y'_1=\cos{x}+{\cal O}\biggl(\int\limits_x^{+\infty} |\varphi(t)|dt\biggr),\qquad y'_2=-\sin{x}+{\cal O}\biggl(\int\limits_x^{+\infty} |\varphi(t)|dt\biggr),$
т.е. имеет место синусоидальная асимптотика решений.

Уравнение для Бесселя мнимого индекса имеет вид
$x^2y''+xy'+(x^2+\nu^2)y=0$.
Сделаем замену $y=z/\sqrt{x}$, получим
$z''+\left(1+\frac{1/4+\nu^2}{x^2}\right)z=0$.

Таким образом,
$z_1(x)=\sin{x}+{\cal O}\biggl(\frac{1}{x}\biggr),\quad z_2(x)=\cos{x}+{\cal O}\biggl(\frac{1}{x}\biggr).$
$y_1(x)=\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}+{\cal O}\biggl(\frac{1}{x\sqrt{x}}\biggr),\quad y_2(x)=\frac{\cos{x}}{\sqrt{x}}+{\cal O}\biggl(\frac{1}{x\sqrt{x}}\biggr).$

[tkm]

Спасибо!