2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Асимптотика функции Бесселя
Сообщение05.10.2009, 22:16 
Подскажите, пожалуйста, асимптотику и поведение вблизи нуля функции Бесселя чисто мнимого индекса!
Заранее спасибо!

 
 
 
 Re: Асимптотика функции Бесселя
Сообщение05.10.2009, 22:28 
Аватара пользователя
http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html и далее по ссылкам.

 
 
 
 Re: Асимптотика функции Бесселя
Сообщение05.10.2009, 22:41 
Если я правильно понял, обычные асимптотические формулы остаются верными и при комплексном индексе?

 
 
 
 Re: Асимптотика функции Бесселя
Сообщение06.10.2009, 09:40 
Рассмотрим уравнение
$y''+(1+\varphi(x))y=0,\qquad \varphi(x)\in C_{[x_0,+\infty)}. $

Имеет место первая теорема о синусоидальной асимптотике

Пусть $\int\limits_{x_0}^{+\infty} |\varphi(x)|dx<+\infty$. Тогда существует
фундаментальная система решений $y_1(x)$, $y_2(x)$ уравнения, допускающая
при $x\to+\infty$ асимптотическое представление вида
$y_1=\sin{x}+{\cal O}\biggl(\int\limits_x^{+\infty} |\varphi(t)|dt\biggr),\qquad y_2=\cos{x}+{\cal O}\biggl(\int\limits_x^{+\infty} |\varphi(t)|dt\biggr).$
При этом
$y'_1=\cos{x}+{\cal O}\biggl(\int\limits_x^{+\infty} |\varphi(t)|dt\biggr),\qquad y'_2=-\sin{x}+{\cal O}\biggl(\int\limits_x^{+\infty} |\varphi(t)|dt\biggr),$
т.е. имеет место синусоидальная асимптотика решений.

Уравнение для Бесселя мнимого индекса имеет вид
$x^2y''+xy'+(x^2+\nu^2)y=0$.
Сделаем замену $y=z/\sqrt{x}$, получим
$z''+\left(1+\frac{1/4+\nu^2}{x^2}\right)z=0$.

Таким образом,
$z_1(x)=\sin{x}+{\cal O}\biggl(\frac{1}{x}\biggr),\quad z_2(x)=\cos{x}+{\cal O}\biggl(\frac{1}{x}\biggr).$
$y_1(x)=\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}+{\cal O}\biggl(\frac{1}{x\sqrt{x}}\biggr),\quad y_2(x)=\frac{\cos{x}}{\sqrt{x}}+{\cal O}\biggl(\frac{1}{x\sqrt{x}}\biggr).$

 
 
 
 Re: Асимптотика функции Бесселя
Сообщение06.10.2009, 17:37 
Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group