Как найти коэффициенты разложения по собственным функциям?

[ewert]

Ага, сперва

V.V. в сообщении #247879 писал(а):

Спектральный параметр входит в краевые условия

, а теперь вдруг

V.V. в сообщении #248051 писал(а):

:)

[V.V.]

Смайлик был ответом на Вашу фразу "Поставить-то такую задачку можно, только кому и зачем она нужна? Она ведь не является спектральной."

Могу развернутее ответить.

1) Зачем?
Такая задача нужна, в частности, чтобы решать ту задачу, которую поставил топикстартер.
2) Кому?
Ну, по поводу таких задач есть сотни публикаций.

[ewert]

V.V. в сообщении #248051 писал(а):

Оставляю Вам в качестве упражнения посчитать интеграл и убедиться, что он не равен нулю.

Да,я там действительно синус с косинусом перепутал. Однако прежнее возражение остаётся. В каком пространстве Вы рассматриваета оператор? И почему Вы решили, что эта система будет полной?

-- Чт окт 01, 2009 14:21:55 --

V.V. в сообщении #248055 писал(а):

Такая задача нужна, в частности, чтобы решать ту задачу, которую поставил топикстартер.

Ни у стартёра, ни в Ваших рассуждениях по его поводу лямбда в граничные условия не входит. А если войдёт -- не будет иметь права называться спектральным параметром.

[Утундрий]

V.V. в сообщении #248016 писал(а):

ответ на вопрос топикстартера приведен

Даже два ответа. Вопрос только, какой из них верен.

Ваши явные формулы для $a_n$, $b_n$ против моей СЛАУ с недиагональной, но быстро диагонализирующейся при больших $n$ матрицей. Прав тут может быть только кто-то один

[iunknown]

Большое спасибо V.V. и всем принявшим участие в обсуждении. Я правда впадал порой в прострацию от утверждений о том, что моя задача в природе не встречается, лишена физического смысла и не решается

С помощью коэффициентов, которые привел V.V., удалось получить решение задачи в виде:

$u(x,t)=U_0 \left(1-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2\cos\omega_nvt\sin\omega_nx}{\omega_nl+\cos\omega_nl\sin\omega_nl}}\right)$

Численные расчеты подвердили, что это решение есть совершенно верное. V.V., огромное спасибо!

Мне бы очень хотелось знать, как вы пришли к этому условию ортогональности? Если будет минутка, был бы признателен, если направите меня в нужное русло (например, ссылкой на литературу, на основании Самарского/Тихонова мне дойти до этого не удалось).

[Утундрий]

Похоже, обстоятельства складываются не в мою пользу Однако, не верится, что ошибся в простой арифметике.

[V.V.]

ewert в сообщении #248060 писал(а):

Ни у стартёра, ни в Ваших рассуждениях по его поводу лямбда в граничные условия не входит. А если войдёт -- не будет иметь права называться спектральным параметром.

Ну, у меня-то есть. Но я решение не писал в тему, как Вы могли заметить.

А почему не имеет права называться спектральным параметром?

[ewert]

V.V. в сообщении #248398 писал(а):

А почему не имеет права называться спектральным параметром?

Да нехорошо как-то. К спектру ведь он никакого отношения не имеет.

[V.V.]

ewert, почему не имеет?

Эта задача прекрасно перепишется стандартно в виде интегрального уравнения. Правда, там будут меры Стилтьеса. Ну, что же. Обобщение обычных задач.

[ewert]

V.V. в сообщении #248477 писал(а):

в виде интегрального уравнения.

Не знаю; возможно, я просто не привык. Для дифференциальных-то операторов спектральный параметр в описании его области определения участвовать никак не может.

А какой интегральный оператор имелся в виду?

[Утундрий]

Хочу поделиться радостью - до меня наконец дошло Что ж, лучше поздно... Как там принято выражаться в потобных ситауциях: "Считаю результаты V.V. правильными и проливающими новый свет..."