Как найти коэффициенты разложения по собственным функциям?

[Утундрий]

V.V.
во-первых, потеряли еще одно собственное значение, дающее при ненулевом $a$ гиперболический синус

во-вторых, сомнительные какие-то формулы для коэффициентов. Там вообще говоря система с бесконечной недиагональной матрицей получается.

[V.V.]

Утундрий, не понимаю, откуда у Вас получается гиперболический синус. Казалось бы, $a^2\lambda^2\mbox{\rm sh}\lambda l+c^2\mbox{\rm ch}\lambda l$ при положительном $\lambda$ положительна.

Про бесконечную недиагональную матрицу не очень понимаю, но формулы, ИМХО, очень логичные. Спектральный параметр входит в краевые условия при $x=l$, поэтому собственные функции ортогональны с весом $c_1+c_2\delta(x-l)$ для некоторых постоянных $c_1$ и $c_2$.

[Утундрий]

Да, поспешил. Поправлюсь - не при ненулевом, а лишь при отрицательном. Дается решением уравнения $\operatorname{cth} \nu l = - a\nu $. Наличие такого слагаемого приводит к "взрыву". При неотрицательных $a$ все спокойно, что как-бы и следует из физ. смысла уравнений...

Насчет ортогональности с сингулярным весом ничего не скажу, потому что не знаю как с ней корректно обращааться. По мне так здесь просто нет ортогональности и все тут. Возьмем, например, первое условие Коши. Получим систему

$$ \int\limits_0^l {\varphi (x) \cdot \sin \lambda _m x \cdot dx} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n } \int\limits_0^l {\sin \lambda _n x \cdot \sin \lambda _m x \cdot dx} = a_m \int\limits_0^l {\sin ^2 \lambda _m x \cdot dx} - a\sum\limits_{n \ne m} {a_n \cdot \sin \lambda _n l \cdot \sin \lambda _m l} $$

[V.V.]

Ну, я надеюсь, что нижеследующие несложные выкладки смогут убедить Вас, что ортогональность имеет место.

$av^2\sin\lambda_ml\cdot\sin\lambda_nl+\int\limits_0^l \sin\lambda_mx\cdot\sin\lambda_n x\,dx=av^2\sin\lambda_ml\cdot\sin\lambda_nl+\frac{\lambda_n\cos\lambda_nl\cdot\sin\lambda_ml-\lambda_m\cos\lambda_ml\cdot\sin\lambda_nl}{\lambda_m^2-\lambda_n^2}=$
$=\sin\lambda_ml\cdot\sin\lambda_nl\left(av^2+\frac{\lambda_n\mbox{\rm ctg}\lambda_nl-\lambda_m\mbox{\rm ctg}\lambda_ml}{\lambda_m^2-\lambda_n^2}\right)=\sin\lambda_ml\cdot\sin\lambda_nl\left(av^2+\frac{\lambda_n\cdot av^2\lambda_n-\lambda_m\cdot av^2\lambda_m}{\lambda_m^2-\lambda_n^2}\right)=$
$\sin\lambda_ml\cdot\sin\lambda_nl(av^2-av^2)=0$.

[ewert]

V.V. в сообщении #247879 писал(а):

Спектральный параметр входит в краевые условия при , поэтому собственные функции ортогональны с весом

Мне лень вникать, но. Из того, что спектральный параметр куды-то там зачем-то там входит, решительно никакой ортогональности не следует и следовать в принципе не может. Она (ортогональность) могла бы следовать из симметричности оператора, да вот -- увы (при таких граничных условиях).

[V.V.]

ewert, еще раз могу написать, что условие ортогональности имеет вид
$av^2X_m(l)X_n(l)+\int\limits_0^l X_m(x)X_n(x)\,dx=0$.

Выкладки приведены выше.

Не верите моим, проделайте сами. И обратите внимание, что в условии ортогональности не только интеграл.

[ewert]

V.V. в сообщении #247913 писал(а):

Выкладки приведены выше.

Прежде чем приводить выкладки, дайте формальное определение того, что считается скалярным произведением. И на каком конкретно функциональном пространстве. До того -- все выкладки и все комментарии бессмысленны.

[Утундрий]

V.V. в сообщении #247913 писал(а):

Не верите моим, проделайте сами. И обратите внимание, что в условии ортогональности не только интеграл.

Спор о словах... С какой стати это условия ортогональности?

[V.V.]

ewert, скалярное произведение определим на пространстве $\mbox{\rm A}=\{f\,|\,f\in W_2^1([0,l]),\,,f(0)=0\}$ таким образом:
$(f,g)=f(l)g(l)+\int\limits_0^l f(x)g(x)\,dx$.
Кажись, всем свойствам скалярного произведения удовлетворяет.

Утундрий, а почему бы это не назвать условием ортогональности? Говорят же про какие-нибудь многочлены Чебышёва, что они ортогональны с весом. Ну, и тут функции ортогональны с весом $1+av^2\delta(x-l)$.

А, вообще, спор, действительно, о словах. Ведь ответ на вопрос топикстартера приведен.

[ewert]

V.V. в сообщении #248016 писал(а):

ewert, скалярное произведение определим на пространстве $\mbox{\rm A}=\{f\,|\,f\in W_2^1([0,l]),\,,f(0)=0\}$ таким образом:
$(f,g)=f(l)g(l)+\int\limits_0^l f(x)g(x)\,dx$.
Кажись, всем свойствам скалярного произведения удовлетворяет.

Да как Вам сказать. Само-то по себе удовлетворяет. Только оператор-то действует не в этом пространстве, а в $L_2$. И в любом случае: этот оператор -- не симметричен. В принципе, т.к. у него только одно граничное условие (второго фактически нет, т.к. вторая производная -- неконтролируема).

[V.V.]

ewert, а вот я считаю, что второе условие есть. И туда входит спектральный параметр. И из-за этого в условии ортогональности есть первое слагаемое, и скалярное произведение такое, как я написал выше.

Вероятно, у нас просто разные мнения по этому вопросу.

Хотя я тут полистал Тихонова, Самарского и выяснил, что с ними-то как раз у нас совпадают мнения по поводу ответа на вопрос о том, как раскладывать по собственным функциям. Вероятно, и они где-то второе условие откопали...

[ewert]

V.V. в сообщении #248022 писал(а):

а вот я считаю, что второе условие есть. И туда входит спектральный параметр.

Путаница какая-то. Как вообще может спектральный параметр входить в граничное условие?...

[V.V.]

Например, так.

$\ddot{X}+\lambda X=0$, $X(0)=0$, $X'(l)+\lambda kX(l)=0$.

Найдите $\lambda$ такие, что эта задача имеет нетривиальное решение.

[ewert]

V.V. в сообщении #248031 писал(а):

Например, так.

$\ddot{X}+\lambda X=0$, $X(0)=0$, $X'(l)+\lambda kX(l)=0$.

Найдите $\lambda$ такие, что эта задача имеет нетривиальное решение.

Поставить-то такую задачку можно, только кому и зачем она нужна? Она ведь не является спектральной.

V.V. в сообщении #247848 писал(а):

условие ортогональности имеет вид

$av^2X_m(l)X_n(l)+\int\limits_0^l X_m(x)X_n(x)\,dx=0$, $m\ne n$,
для $X_n(x)=\sin\lambda_n x$, где $\lambda_n$ - $n$-й положительный корень уравнения $\mbox{\rm ctg} \lambda_nl=av^2\lambda_n$.

Эти функции действительно образуют полную ортогональную систему, но -- относительно стандартного скалярного произведения $\int\limits_0^l X_m(x)X_n(x)\,dx$ (и, соответственно, не образуют относительно Вашего; с оговоркой Утундрия относительно возможной дополнительно ещё одной гиперболической функции). Причина -- довольно-таки случайная: на этой последовательности функций граничное условие $u'_x=-av^2u''_{xx}$ равносильно условию $u=av^2u'_{x}$, а последнее является воистину эрмитовым, хотя формально никак и не связано с исходной задачей.

Поэтому можно и разложить решение в ряд Фурье по этим функциям (естественно, с обычным скалярным произведением). И найти формально коэффициентв ряда -- всё пойдёт.

Но там будет проблема. Если бы в граничные условия входили только $u$ и $u'_{x}$, то и для суммы ряда эти условия выполнялись бы. А вот для $u''_{xx}$ уже вигвам: сходимость ряда после двукратного дифференцирования по иксам ниоткуда и ни в каком смысле не следует.

[V.V.]

ewert в сообщении #248032 писал(а):

V.V. в сообщении #248031 писал(а):

Например, так.

$\ddot{X}+\lambda X=0$, $X(0)=0$, $X'(l)+\lambda kX(l)=0$.

Найдите $\lambda$ такие, что эта задача имеет нетривиальное решение.

Поставить-то такую задачку можно, только кому и зачем она нужна? Она ведь не является спектральной.

-- Чт окт 01, 2009 12:43:12 --

ewert в сообщении #248032 писал(а):

V.V. в сообщении #247848 писал(а):

условие ортогональности имеет вид

$av^2X_m(l)X_n(l)+\int\limits_0^l X_m(x)X_n(x)\,dx=0$, $m\ne n$,
для $X_n(x)=\sin\lambda_n x$, где $\lambda_n$ - $n$-й положительный корень уравнения $\mbox{\rm ctg} \lambda_nl=av^2\lambda_n$.

Эти функции действительно образуют полную ортогональную систему, но -- относительно стандартного скалярного произведения $\int\limits_0^l X_m(x)X_n(x)\,dx$ (и, соответственно, не образуют относительно Вашего; с оговоркой Утундрия относительно возможной дополнительно ещё одной гиперболической функции).

Поэтому можно и разложить решение в ряд Фурье по этим функциям (естественно, с обычным скалярным произведением). И найти формально коэффициентв ряда -- всё пойдёт.

Оставляю Вам в качестве упражнения посчитать интеграл и убедиться, что он не равен нулю.