Дифуры

[gris]

То есть ответ - через каждую точку абсциссы проходит три кривых?
Просто я сейчас смотрю несколько учебников по ОДУ, в том числе и уважаемого V.V., но по-моему, нет единого определения интегральной кривой. Где-то требуется наличие даже гладкой параметризации, где-то нет
V.V., скажите пожалуйста, а с точки зрения Вашего учебника - уравнение $y=\sqrt{|x|}$ определяет две интегральных кривых или одну?
Также $y=|x|$
$y=\sqrt[3]x?$

[ewert]

gris в сообщении #248076 писал(а):

То есть ответ - через каждую точку абсциссы проходит три кривых?

Да.

gris в сообщении #248076 писал(а):

но по-моему, нет единого определения интегральной кривой.

Хм. С моей точки зрения, интегральная кривая -- это просто график некоторого решения дифференциального уравнения. Во всяком случае, если это уравнение имеет нормальную форму.

gris в сообщении #248076 писал(а):

- уравнение $y=\sqrt{|x|}$ определяет две интегральных кривых или одну?

А где уравнение-то?

[gris]

ewert, я рассматриваю $y=\sqrt {|x|}+C$ как решение некоторого уравнения.
Можно просто задать на плоскости соответствующее поле направлений. Оно будет почти таким, как в Вашей задаче, только повёрнутое. В этом случае решение представляет собой график функции. Будут ли его правая и левая ветви отдельными интегральными кривыми или его можно рассматривать как одну кривую?

[ewert]

gris в сообщении #248081 писал(а):

как решение некоторого уравнения.

Какого конкретно?

В зависимости от уравнения ситуации могут быть, в принципе, разными.

[gris]

Вот если рассмотреть уравнение $x^2dx=y^3dy$.
Его решение $x= 1,5y^2+C$
Сколько интегральных кривых проходит через точку $(0;0)$?

[ewert]

gris в сообщении #248087 писал(а):

Вот если рассмотреть уравнение $x^2dx=y^3dy$.
Его решение $x= 1,5y^2+C$
Сколько интегральных кривых проходит через точку $(0;0)$?

Одна. Только не такая.
А если привести уравнение к нормальной форме -- то ни одной.

[gris]

То есть интегральная кривая привязана именно к уравнению, а не к полю направлений?
По учебнику V.V. вроде бы получается, что $x=y^{2/3}$ определяет одну кривую, а не две. В точке $(0;0)$ происходит нарушение единственности решения. Но это из-за того, что существует решение $y=0$. А если его исключить?
Например, переписав Ваше уравнение в виде $\cfrac {y'}{y^{1/3}}=1$
Я понимаю, что там всё дело в "клюве", но не могу найти чисто формальное подтверждение.

И что, для уравнения $y'=\cfrac{x^2}{y^3}$ нет интегральной кривой, проходящей через $(0;0)$?

[ewert]

gris в сообщении #248092 писал(а):

По учебнику V.V. вроде бы получается, что $x=y^{2/3}$ определяет одну кривую, а не две.

Там некоторая двусмысленность:

Цитата:

Определение 1.3 (интегральная кривая). Кривая, определённая в каждой своей точке уравнением (1) или уравнением (1'), называется интеграьной кривой уравнения (1).

А что такое "кривая" -- предварительно формально не определено. Из контекста следует, что имелись в виду лишь точки, в которых решение единственно. Но мы-то обсуждаем случай, когда ровно наоборот.

А вообще-то я перестал понимать, что мы, собственно, обсуждаем.

[gris]

Вашу собственную задачу.
$y'=\sqrt[3]x$
Я пытаюсь понять сколько интегральных кривых с точки зрения учебника V.V. проходит через любую точку абсциссы.
Понятно, что это чисто досужий вопрос.

[ewert]

gris в сообщении #248101 писал(а):

Понятно, что это чисто досужий вопрос.

Согласен.