По определению...

[Circiter]

Цитата:

Возведя в квадрат левую часть, получим $+1=+\sqrt{1}$

Верно! А если ещё раз возведем обе части этого выражения ($+1=+\sqrt{1}$) в квадрат (а это тождественное преобразование), то получим очевидное тождество $1^2=1\times 1=1$.

Цитата:

из Вашего ответа следует, что оно не имеет места

Если корень не арифметический, то ваше тождество есть нонсенс. Но с арифметическим корнем все в порядке! Обратное из моего ответа не следует!

Цитата:

Тогда в этих определениях (по определению...) есть ошибка.

Второе равенство вашего первого поста ($-\sqrt{1}=-1$) верно только для арифметического корня. Т.е. ошибка есть только если самый общий случай рассматривать. Как-то так... В новом же вашем сообщении (с выражениями без минусов) все верно в любом случае.

Цитата:

Прошу знаки пока не опускать

Префиксные унарные плюсы принято игнорировать, це ж традиция.

[TOTAL]

Yarkin в сообщении #247608 писал(а):

TOTAL в сообщении #247372 писал(а):

Yarkin в сообщении #247339 писал(а):

Хорошее заключение. Повторяю простой вопрос: возможно ли это равенство?

Повторите вопрос полностью.

Повторяю. Может ли иметь место, полученное мною равенство?

Какое равенство?

[Yarkin]

Circiter в сообщении #247660 писал(а):

Префиксные унарные плюсы принято игнорировать, це ж традиция.

С непроцитироваными Вашими объяснениями я согласен, а традицию надо изменить. Что было бы, если бы в качестве знаков чисел мы использовали точку вместо знака плюс и две точки вместо знака минус, чтобы не чертить каждый раз бесконечное число точек? И почему мы считаем, что знаков у чисел всего два?

-- Ср сен 30, 2009 12:28:28 --

gris в сообщении #247620 писал(а):

Можно близко по теме спросить?
Корректно ли равенство

$$\sqrt[5] 1=\sqrt[7] 1$$

в поле комплексных чисел? Может ли оно иметь место?

Разумеется, нет.

-- Ср сен 30, 2009 12:30:04 --

TOTAL в сообщении #247694 писал(а):

Какое равенство?

И (1) и (2).

[TOTAL]

Yarkin в сообщении #247734 писал(а):

TOTAL в сообщении #247694 писал(а):

Какое равенство?

И (1) и (2).

Здесь нет никаких (1) и (2).

[Circiter]

2Yarkin

Цитата:

И почему мы считаем, что знаков у чисел всего два?

Это смотря у каких чисел. Например в $\mathbb{N}$ знак один, в $\mathbb{R}$ -- два. Можете придумать числа с тремя знаками.

Цитата:

а традицию надо изменить

Зачем?! Минусы важно писать, потому-что итоговый знак зависит от их количества (нечетное количество знаков минус дает минус, четное -- плюс). Плюсы (унарные) вообще не нужны, они ничего не меняют.

Цитата:

Что было бы, если бы в качестве знаков чисел мы использовали точку вместо знака плюс и две точки вместо знака минус, чтобы не чертить каждый раз бесконечное число точек?

Да за примером далеко ходить не надо. Знак машинных знаковых двоичных чисел обычно определяется (кодируется) одним из битов этого числа. Ещё раз повторюсь, придумать можно все, что угодно.

[Xaositect]

Yarkin в сообщении #247734 писал(а):

С непроцитироваными Вашими объяснениями я согласен, а традицию надо изменить. Что было бы, если бы в качестве знаков чисел мы использовали точку вместо знака плюс и две точки вместо знака минус, чтобы не чертить каждый раз бесконечное число точек? И почему мы считаем, что знаков у чисел всего два?

Лучше наоборот - точку для минуса и две для плюса

[gris]

А плюс и так состоит из двух перпендикулярных минусов.
Из минусов состоит и равенство, и тождественное равенство, и неравенства, и модули, и определители, и отрицание, и умножение, и деление. Из четырёх минусов состоит сумма и норма. Если у минуса загнуть кончики, то получится интеграл.
Нельзя без минуса.

[petinv]

Yarkin в сообщении #247734 писал(а):

И почему мы считаем, что знаков у чисел всего два?

А кто сказал, что их два?
У комплексных чисел в тригонометрическом представлении есть абсолютная величина и направление. Направление, по сути, играет роль знака.

[Yarkin]

TOTAL в сообщении #247737 писал(а):

Здесь нет никаких (1) и (2).

Есть.

Circiter в сообщении #247837 писал(а):

Зачем?!

Чтобы не получались подобные равенства.

Circiter в сообщении #247837 писал(а):

Плюсы (унарные) вообще не нужны, они ничего не меняют.

Следовательно$+1=+\sqrt{1}$?

Xaositect в сообщении #247840 писал(а):

Лучше наоборот - точку для минуса и две для плюса

Почему лучше?

petinv в сообщении #247855 писал(а):

Направление, по сути, играет роль знака.

Но не совпадает со знаками действия.

[Circiter]

2Yarkin

Цитата:

Чтобы не получались подобные равенства

Дак вы просто хотите исключить возможную неопределенность в иррациональных выражениях? Юзайте модули! Ибо $|\sqrt{a}|\geq 0$.

Насчет зачеркнутого вами выражения не понял... Но с алгебраическим корнем, выражение $1=\sqrt{1}$ действительно странно смотрится, т.е. смысла не имеет (а вот с арифметическим, всегда положительным корнем -- пожалуйста). Кстати, где-то слышал, что символы арифметического и алгебраического корней немного различаются, то-ли засечкой какой, то-ли наклоном одной из линий... Не помню...

Цитата:

Но не совпадает со знаками действия

Что такое "знак действия"?

[bot]

Yarkin в сообщении #247932 писал(а):

Xaositect в сообщении #247840 писал(а):
Лучше наоборот - точку для минуса и две для плюса
Почему лучше?

Ну ясен пень почему. Минус интерпретируется не только знаком числа, но одновременно является обозначением унарной операции, сопоставляющей числу ему противоположное число, более общо элементу абелевой группы по сложению - ему противоположный элемент. Аналогично, плюс - это не только знак числа (элемента), но и значок для унарной операции - тождественной. Если бы в больную голову пришла мысль плюс обозначать одной точкой, а минус - двумя, то заболела бы голова у всех: последовательное выполнение двух тождественных преобразований путалось бы с переходом к противоположному.
Где-то Вы уже такой похожий вопрос задавали, но лень было отвечать ...
ага нашёл

Yarkin в сообщении #245265 писал(а):

Я до сих пор не могу отличать знаки действия $(+,-)$ от таких же знаков чисел. Например $(-1)$ означает вычесть из ничего единицу или это число со знаком?

В этом примере $-1$ - это элемент противоположный элементу $1$. В силу нейтральности элемента $0$ имеем $0+(-1)=(-1)+0=-1$
Операция вычитания вводится обычным образом - полагают $x-y=x+(-y)$, так что $-1$ это одновременно и противоположный для $1$ и результат вычитания единицы из нуля. И никаких мистических "ничего" здесь нет.

Вычитание можно вводить и без унарной операции взятия противоположного: объявить разностью $a-b$ решение уравнения $x+b=a$, разумеется для этого необходимо его существование и единственность. [offtop]Любителей делить на 0 объединяет непонимание аналогичной связи деления и умножения.[/offtop]
Далее через это вычитание определяем для $a$ его противоположный $-a=0-a$ ...

В конце концов, можно иметь только одно вычитание и задав нужную аксиоматику, получить сложение, нейтральный элемент, а иногда и знак.




Со знаком далеко не всегда просто. Если сделан выбор положительных элементов говорят - положительный конус), то отрицательными естественно противоположные положительным. Не всякий выбор положительного конуса будет хорош - он должен достаточно "разумен", чтобы обеспечить хорошие свойства. Без связи с операциями это выбор вообще не интересен - это механическое соединение двух структур, изучай каждую по отдельности и потом склеивай. В общем - вот мухи, а вот котлеты и никакой связи между ними. Что толку к примеру, что всякое множество может быть вполне упорядочено, если этот порядок окажется никак не связан с операциями? Вот в множестве действительных чисел такой разумный выбор сделан, вследствие которого получается не только знак, но возможность сравнивать числа друг с другом - получается линейный порядок, а порядок хорошо согласован с операциями. Попытка найти полный порядок без потери хороших свойств невозможен. В множестве комплексных чисел разумным образом можно ввести лишь частичный порядок, но и от него мало толку. В некотором обобщённом смысле направление можно считать знаком числа - вместе с модулем оно полностью это числоопределяет. А какие свойства знака при этом обобщении наследуются? Да собственно только лишь правилом перемножения знаков и ограничивается, однако уже ппринято говорить иначе не перемножаются знаки, а просто складываются аргументы - стоит ли ломть устоявшуюся терминологию из-за желания определить знак?

[Yarkin]

Circiter в сообщении #247949 писал(а):

2Yarkin

Цитата:

Чтобы не получались подобные равенства

Дак вы просто хотите исключить возможную неопределенность в иррациональных выражениях? Юзайте модули! Ибо $|\sqrt{a}|\geq 0$.

А если без модулей?

Circiter в сообщении #247949 писал(а):

Что такое "знак действия"?

Минус - знак действия, если иметь в виду вычитание.

bot в сообщении #247988 писал(а):

Да собственно только лишь правилом перемножения знаков и ограничивается, однако уже ппринято говорить иначе не перемножаются знаки, а просто складываются аргументы - стоит ли ломть устоявшуюся терминологию из-за желания определить знак?

Конечно, не стоит. Но, если принимаются определения, то они не должны приводить к неопределенным равенствам (1) и (2).

[Circiter]

2Yarkin

Цитата:

Но, если принимаются определения, то они не должны приводить к неопределенным равенствам

Да вы же сами написали эти равенства! Ну представьте себе, что я сейчас напишу, что-то вроде $1=2$ и буду сокрушаться по поводу порочности арифметики.

А вообще bot хорошо все расписал. Кстати,

2bot
Неужели связь между обращением числа и сменой его знака настолько хилая? Т.е. отождествлять эти понятия ни в коем случае не стоит?

[bot]

Yarkin в сообщении #248037 писал(а):

если принимаются определения, то они не должны приводить к неопределенным равенствам (1) и (2).

TOTAL уже не раз просил показать эти равенства (1) и (2), я их тоже не вижу, а потому и ответить не могу. Кроме того, не имею ни малейшего представления о принятых Вами определениях. Какие они? Если в стартовом сообщении, то в нём их нет.

Circiter в сообщении #248074 писал(а):

Неужели связь между обращением числа и сменой его знака настолько хилая? Т.е. отождествлять эти понятия ни в коем случае не стоит?

Знак - это почти архаизм. Смена знака при переходе к противоположному диктуется согласованием порядка с операцией сложения. Однако далеко не всякая группа (даже абелевая) упорядочиваема хотя бы частично, а ведь в ней нейтральный элемент есть и элемент противоположный любому её элементу тоже есть. В частности в такой группе бессмысленно выделять положительный или отрицательный конус, то есть вводить понятие знака элемента - не будет это нигде работать.

[Yarkin]

Circiter в сообщении #248074 писал(а):

Да вы же сами написали эти равенства! Ну представьте себе, что я сейчас напишу, что-то вроде $1=2$ и буду сокрушаться по поводу порочности арифметики.

Я их не написал, а получил исходя из определений. Если я ошибся, то укажите ошибку. Привожу их еще раз:

Yarkin в сообщении #247003 писал(а):

По определению$(\sqrt{-1})^2=-1.$
Отрицательное значение корня-соотношением $-\sqrt{1}=-1.$
Из равенства правых частей следует
$$(\sqrt{-1})^2=-\sqrt{1}. \eqno(1)$$

Yarkin в сообщении #247626 писал(а):

По определению $(\sqrt{+1})^2=+1$,
по определению значения арифметического корня $+\sqrt{1}=+1.$
Правые части равны, следовательно
$$(\sqrt{+1})^2=+\sqrt{1} \eqno (2)$$

Могут ли иметь место равенства (1) и (2)? Желательно ответ обосновывать.

Circiter в сообщении #248074 писал(а):

А вообще bot хорошо все расписал.

Согласен.