Дифуры

[mycoding]

Ребята , я дифуры уже 2-ую неделю долблю и полный ноль , у меня коллоквиум в понедельник , пожалуйста помогите разобраться. На коллоквиуме будет 16 однотипных вариантов один из них вот , пожалуйста полностью разберите мне его от и до , пожалуйста.

Вариант N 1
1. Пользуясь теоремой существования и единственности решения (теорема Коши), выделить области на плоскости Oxy, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения y'= 2xy + y*y.Ответ обосновать.
2. Определить вид дифференциального уравнения y'' + y' - 2y =0 и метод его решения.
3. Определить вид дифференциального уравнения 2x*x*x*y'=y(2x*x-y*y) и метод его решения.
4. Являются ли функции Q1(x) = arctg(x) и Q2(x)=arctg(x*x) линейно зависимыми на интервале (-беск,+беск)? Ответ обосновать.

[ewert]

mycoding в сообщении #247899 писал(а):

выделить области на плоскости Oxy, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения y'= 2xy + y*y.Ответ обосновать

Могу лишь сказать, что ваше начальство -- крайне странное. Поскольку позволяет себе задавать вопросы, ответы на который заведомо тривиальны. Естественно, это -- вся плоскость.

(упс, пардон, верхняя полуплоскость -- спутал галочку со звёздочкой. Но всё равно: где задача имеет смысл, там она и корректна. Вопрос же -- по-прежнему ни малейшего смысла не имеет.)

[gris]

Во-первых, все эти вещи подробно описаны в учебниках.
Во-вторых, например, 2 - линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Решается обычно устно, с помощью теоремы Виета. Произведение -2, сумма -1. Опа - корни -2 и 1. Решение $y=c_1e^{-2x}+c_2e^x$
В-третьих, "от и до" это краевая задача на отрезке. Решается численно в Excel

[V.V.]

ewert, ну все-таки логично попросить лишний раз сформулировать теорему о существовании и единственности. И объяснить, почему $f(x,y)=2xy+y^2$ удовлетворяет условиям.

-- Ср сен 30, 2009 21:56:24 --

gris
Где здесь краевая задача? Условий-то на границе нет.

Ну, и рекомендовать пользоваться Excel на математическом форуме, это как-то нехорошо.

[ewert]

V.V. в сообщении #247906 писал(а):

И объяснить, почему $f(x,y)=2xy+y^2$ удовлетворяет условиям.

Неспортивно откровенно. Подобные вопросы никого и никогда и ничему не учат. Дескать, докажите, что всё хорошо, когда заранее известно, что всё хорошо.

[V.V.]

ewert
1) Непонимаю, что откровенно неспортивного.
2) Еще раз. Эта задача заставит человека перечитать условия теоремы о существовании и единственности. Возможно, благодаря этому, человек запомнит эту теорему хотя бы до экзамена.
3) Вообще, заранее не очень понятно, почему всё хорошо.

[ewert]

V.V. в сообщении #247915 писал(а):

Непонимаю, что откровенно неспортивного.

Да это просто лирика. С моей, лирической точки зрения: всё, что не заставляет студиозуса напрягать мозг (ну хоть чуть-чуть, ну хоть чуть-чуть допуская, что могут быть и иные варианты) -- заведомо бессмысленно. Так вот тот вопросик и бессмысленен откровенно и во всех отношениях.

[gris]

V.V., краевая задача явно подразумевается автором именно в словах "от и до". Функция изменяется от 1 в 0 до 6 в 12.
Насчёт Excel я позволю себе возразить Вам. Очень многие задачи решаются в Excel - мощном инструменте настоящего романтика. Excel. Выбери лучшее.

А автору присоветую всё-же переписать формулы как положено. А то смотреть больно.

$$y'= 2xy + y^2$$

$$2x^3y'=y(2x^2-y^2)$$

Однородное уравнение.

[V.V.]

ОК, ewert, ну в существование можно поверить, а как, не напрягая мозги, поверить в единственность?

mycoding, уравнение в третьем задании у Вас однородное, решается заменой функции $y(x)=x\cdot z(x)$. Для решения четвертого задания вспомните, что такое вронскиан.

[ewert]

V.V. в сообщении #248023 писал(а):

ну в существование можно поверить, а как, не напрягая мозги, поверить в единственность?

Да просто вспомнив теорему Пикара. Которая, если говорить в принципе, утверждает: если всё хорошо, то всё и прекрасно. А поскольку в том примерчике в правой части тривиальным образом всё и везде хорошо, то всё везде тривиально и прекрасно.

То есть. Любые задачи на любые теоремы существования и единственности содержательны лишь тогда, когда в рамках задачи условия теоремы могут нарушаться. Здесь же нарушения заведомо невозможны, поэтому задача и бессодержательна.

[V.V.]

ewert, тут также у нас разные мнения.
Во-первых, слово "заведомо" про единственность мне не кажется естественным.
Во-вторых, всё-таки напрячь мозги, чтобы вспомнить теорему Коши-Липшица, ИМХО, надо. Особенно тому, кто долбит дифуры уже вторую неделю, и полный ноль.

[ewert]

V.V. в сообщении #248029 писал(а):

ewert, тут также у нас разные мнения.

Ну хорошо. А как Вы собираетесь для этой задачи отличать правильный ответ от неправильного?

Ведь на эту задачу реально может встретиться только два ответа: "Везде, по теореме Коши" и "Не знаю". К первому (дословно такому) придраться невозможно. Второй тоже запросто может встретиться: испытуемый может попросту испугаться слов "выделить области", когда выделять-то явно нечего, а потом долго и мучительно думать: чего же от него, собственно, добиваются? Но вот это-то как раз и неспортивно -- гнобить студентов откровенными провокациями.

В качестве контрпримера -- содержательная задачка на ту же тему: найти точки, через которые проходит ровно идна интегральная кривая уравнения $y'=\sqrt[3]{y}$. Или даже детальнее: для каждой точки определить, сколько интегральных кривых через неё проходит.

[V.V.]

ewert, в задании написано "Ответ обосновать". Так что я на месте преподавателя стал бы требовать проверку студентом условий теоремы. А любой из двух Ваших ответов сразу оценивать минусом.

[gris]

ewert
Через любую точку плоскости, кроме оси абсцисс, проходит ровно одна интегральная кривая.
А через точку $(c;0)$ на оси абсцисс проходят $y=0$ и $x=\frac32y^{2/3}+c$. Правильно?
Вот у меня вопрос. Уравнение $x=\frac32y^{2/3}+c$ определяет одну интегральную кривую или две? Там же особенность при $y=0$. Или же это две ветви одной кривой?

[ewert]

V.V. в сообщении #248050 писал(а):

ewert, в задании написано "Ответ обосновать".

Обосновываю: "Ежу понятно".

По-прежнему не понимаю, зачем ставить студента в тупик бессодержательными вопросами.

-- Чт окт 01, 2009 14:34:14 --

gris в сообщении #248056 писал(а):

Вот у меня вопрос. Уравнение $x=\frac32y^{2/3}+c$ определяет одну интегральную кривую или две? Там же особенность при $y=0$. Или же это две ветви одной кривой?

Это -- две ветви одной функции. Однако каждая из них -- $\displaystyle y=-\left({2(x-c)\over3}\right)^{3\over2}$ и $\displaystyle y=+\left({2(x-c)\over3}\right)^{3\over2}$ -- описывает отдельную интегральную кривую.