2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дифуры
Сообщение30.09.2009, 21:26 


31/08/09
183
Ребята , я дифуры уже 2-ую неделю долблю и полный ноль , у меня коллоквиум в понедельник , пожалуйста помогите разобраться. На коллоквиуме будет 16 однотипных вариантов один из них вот , пожалуйста полностью разберите мне его от и до , пожалуйста.

Вариант N 1
1. Пользуясь теоремой существования и единственности решения (теорема Коши), выделить области на плоскости Oxy, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения y'= 2xy + y*y.Ответ обосновать.
2. Определить вид дифференциального уравнения y'' + y' - 2y =0 и метод его решения.
3. Определить вид дифференциального уравнения 2x*x*x*y'=y(2x*x-y*y) и метод его решения.
4. Являются ли функции Q1(x) = arctg(x) и Q2(x)=arctg(x*x) линейно зависимыми на интервале (-беск,+беск)? Ответ обосновать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение30.09.2009, 21:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mycoding в сообщении #247899 писал(а):
выделить области на плоскости Oxy, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения y'= 2xy + y*y.Ответ обосновать

Могу лишь сказать, что ваше начальство -- крайне странное. Поскольку позволяет себе задавать вопросы, ответы на который заведомо тривиальны. Естественно, это -- вся плоскость.

(упс, пардон, верхняя полуплоскость -- спутал галочку со звёздочкой. Но всё равно: где задача имеет смысл, там она и корректна. Вопрос же -- по-прежнему ни малейшего смысла не имеет.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение30.09.2009, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Во-первых, все эти вещи подробно описаны в учебниках.
Во-вторых, например, 2 - линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Решается обычно устно, с помощью теоремы Виета. Произведение -2, сумма -1. Опа - корни -2 и 1. Решение $y=c_1e^{-2x}+c_2e^x$
В-третьих, "от и до" это краевая задача на отрезке. Решается численно в Excel

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение30.09.2009, 21:54 
Заслуженный участник


09/01/06
800
ewert, ну все-таки логично попросить лишний раз сформулировать теорему о существовании и единственности. И объяснить, почему $f(x,y)=2xy+y^2$ удовлетворяет условиям.

-- Ср сен 30, 2009 21:56:24 --

gris
Где здесь краевая задача? Условий-то на границе нет.

Ну, и рекомендовать пользоваться Excel на математическом форуме, это как-то нехорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение30.09.2009, 22:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
V.V. в сообщении #247906 писал(а):
И объяснить, почему $f(x,y)=2xy+y^2$ удовлетворяет условиям.

Неспортивно откровенно. Подобные вопросы никого и никогда и ничему не учат. Дескать, докажите, что всё хорошо, когда заранее известно, что всё хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение30.09.2009, 22:19 
Заслуженный участник


09/01/06
800
ewert
1) Непонимаю, что откровенно неспортивного.
2) Еще раз. Эта задача заставит человека перечитать условия теоремы о существовании и единственности. Возможно, благодаря этому, человек запомнит эту теорему хотя бы до экзамена.
3) Вообще, заранее не очень понятно, почему всё хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение30.09.2009, 22:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
V.V. в сообщении #247915 писал(а):
Непонимаю, что откровенно неспортивного.

Да это просто лирика. С моей, лирической точки зрения: всё, что не заставляет студиозуса напрягать мозг (ну хоть чуть-чуть, ну хоть чуть-чуть допуская, что могут быть и иные варианты) -- заведомо бессмысленно. Так вот тот вопросик и бессмысленен откровенно и во всех отношениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение30.09.2009, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
V.V., краевая задача явно подразумевается автором именно в словах "от и до". Функция изменяется от 1 в 0 до 6 в 12.
Насчёт Excel я позволю себе возразить Вам. Очень многие задачи решаются в Excel - мощном инструменте настоящего романтика. Excel. Выбери лучшее.

А автору присоветую всё-же переписать формулы как положено. А то смотреть больно. $$y'= 2xy + y^2$$
$$2x^3y'=y(2x^2-y^2)$$
Однородное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение01.10.2009, 10:47 
Заслуженный участник


09/01/06
800
ОК, ewert, ну в существование можно поверить, а как, не напрягая мозги, поверить в единственность?

mycoding, уравнение в третьем задании у Вас однородное, решается заменой функции $y(x)=x\cdot z(x)$. Для решения четвертого задания вспомните, что такое вронскиан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение01.10.2009, 11:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
V.V. в сообщении #248023 писал(а):
ну в существование можно поверить, а как, не напрягая мозги, поверить в единственность?

Да просто вспомнив теорему Пикара. Которая, если говорить в принципе, утверждает: если всё хорошо, то всё и прекрасно. А поскольку в том примерчике в правой части тривиальным образом всё и везде хорошо, то всё везде тривиально и прекрасно.

То есть. Любые задачи на любые теоремы существования и единственности содержательны лишь тогда, когда в рамках задачи условия теоремы могут нарушаться. Здесь же нарушения заведомо невозможны, поэтому задача и бессодержательна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение01.10.2009, 11:34 
Заслуженный участник


09/01/06
800
ewert, тут также у нас разные мнения. :)
Во-первых, слово "заведомо" про единственность мне не кажется естественным.
Во-вторых, всё-таки напрячь мозги, чтобы вспомнить теорему Коши-Липшица, ИМХО, надо. Особенно тому, кто долбит дифуры уже вторую неделю, и полный ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение01.10.2009, 11:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
V.V. в сообщении #248029 писал(а):
ewert, тут также у нас разные мнения. :)

Ну хорошо. А как Вы собираетесь для этой задачи отличать правильный ответ от неправильного?

Ведь на эту задачу реально может встретиться только два ответа: "Везде, по теореме Коши" и "Не знаю". К первому (дословно такому) придраться невозможно. Второй тоже запросто может встретиться: испытуемый может попросту испугаться слов "выделить области", когда выделять-то явно нечего, а потом долго и мучительно думать: чего же от него, собственно, добиваются? Но вот это-то как раз и неспортивно -- гнобить студентов откровенными провокациями.

В качестве контрпримера -- содержательная задачка на ту же тему: найти точки, через которые проходит ровно идна интегральная кривая уравнения $y'=\sqrt[3]{y}$. Или даже детальнее: для каждой точки определить, сколько интегральных кривых через неё проходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение01.10.2009, 12:40 
Заслуженный участник


09/01/06
800
ewert, в задании написано "Ответ обосновать". Так что я на месте преподавателя стал бы требовать проверку студентом условий теоремы. А любой из двух Ваших ответов сразу оценивать минусом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение01.10.2009, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
ewert
Через любую точку плоскости, кроме оси абсцисс, проходит ровно одна интегральная кривая.
А через точку $(c;0)$ на оси абсцисс проходят $y=0$ и $x=\frac32y^{2/3}+c$. Правильно?
Вот у меня вопрос. Уравнение $x=\frac32y^{2/3}+c$ определяет одну интегральную кривую или две? Там же особенность при $y=0$. Или же это две ветви одной кривой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры
Сообщение01.10.2009, 13:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
V.V. в сообщении #248050 писал(а):
ewert, в задании написано "Ответ обосновать".

Обосновываю: "Ежу понятно".

По-прежнему не понимаю, зачем ставить студента в тупик бессодержательными вопросами.

-- Чт окт 01, 2009 14:34:14 --

gris в сообщении #248056 писал(а):
Вот у меня вопрос. Уравнение $x=\frac32y^{2/3}+c$ определяет одну интегральную кривую или две? Там же особенность при $y=0$. Или же это две ветви одной кривой?

Это -- две ветви одной функции. Однако каждая из них -- $\displaystyle y=-\left({2(x-c)\over3}\right)^{3\over2}$ и $\displaystyle y=+\left({2(x-c)\over3}\right)^{3\over2}$ -- описывает отдельную интегральную кривую.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group