Как найти коэффициенты разложения по собственным функциям?

[iunknown]

Друзья, прошу помощи.

Решаю краевую задачу для одномерного волнового уравнения $\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}$ методом разделения переменных. На одной из границ условие сформулировано следующим образом $\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} + a \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2} = 0$
Собственные частоты колебаний найти удается, но они не кратные, и как следствие, собственные функции (синусы) неортогональны. Как найти коэффициенты разложения по неортогональным собственным функциям?

Прошу помочь советом.

[V.V.]

Вы уверены, что синусы неортогональны?

Какие в задаче начально-краевые условия?

[iunknown]

V.V. в сообщении #247537 писал(а):

Вы уверены, что синусы неортогональны?

Какие в задаче начально-краевые условия?

Не был уверен, но проверил даже численно, ортогональности нет.

Начальные условия: $\left. u(x,t)\right|_{t=0}=0\qquad \left. \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right|_{t=0}=0$

Граничные условия: $\left. u(x,t)\right|_{x=0}=U_0\qquad\left.-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right|_{x=l} = a \frac{d^2u(x,l)}{dt^2}$

Собственные значения получаются из уравнения вида $\ctg(\omega l)=b \omega l$

[ewert]

iunknown в сообщении #247545 писал(а):

$-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right|_{x=l} = a \frac{d^2u(x,l)}{dt^2}$

Таких граничных условий в природе не бывает. Бывает лишь $-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\Big|_{x=l} = a\,u(x,l)$.

[iunknown]

ewert в сообщении #247559 писал(а):

iunknown в сообщении #247545 писал(а):

$-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right|_{x=l} = a \frac{d^2u(x,l)}{dt^2}$

Таких граничных условий в природе не бывает. Бывает лишь $-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\Big|_{x=l} = a\,u(x,l)$.

В конце длинной линии включена емкость C на землю.
Первое телеграфное уравнение связывает убыль напряжения вдоль x со скоростью изменения тока во времени: $-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = L' \frac{\partial i(x,t)}{\partial t}$
Ток в конце линии (линия нагружена на емкость) определяется по Максвеллу: $i(l,t) = C \frac{dU(l,t)}{dt}$, откуда и получаем такое граничное условие.

[ewert]

Ну насчёт емкостей я не в курсе. Но -- не бывает таких граничных условий для симметричных дифференциальных операторов. Т.е., конечно, граничное условие можно ставить как бог на душу положит -- фантазия (в отличие от отрезка) безгранична. Но тогда и оператор не будет симметричным. А раз так -- на какую вообще ортогональность можно надеяться?...

[iunknown]

ewert в сообщении #247577 писал(а):

Ну насчёт емкостей я не в курсе. Но -- не бывает таких граничных условий для симметричных дифференциальных операторов. Т.е., конечно, граничное условие можно ставить как бог на душу положит -- фантазия (в отличие от отрезка) безгранична. Но тогда и оператор не будет симметричным. А раз так -- на какую вообще ортогональность можно надеяться?...

Спасибо за отклики, мой вопрос как раз и заключается в том, как искать коэффициенты разложения в этом случае, когда нет ортогональности. Ведь собственные значения удалось найти достаточно легко! а что делать теперь с $\sum_{n=1}^\infty {C_n \sin\omega_n x} = -U_0$... я в замешательстве.

[ewert]

iunknown в сообщении #247583 писал(а):

Ведь собственные значения удалось найти достаточно легко!

Ну, положим, из Вашего варианта граничного условия Вы никаких собственных значений не можете найти в принципе, ибо это граничное условие содержит время, что откровенно не есть хорошо.

[iunknown]

ewert в сообщении #247584 писал(а):

iunknown в сообщении #247583 писал(а):

Ведь собственные значения удалось найти достаточно легко!

Ну, положим, из Вашего варианта граничного условия Вы никаких собственных значений не можете найти в принципе, ибо это граничное условие содержит время, что откровенно не есть хорошо.

Ну смотрите, решаем волновое уравнение $\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = v^2\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}$
Вычитаем из искомого $u(x,t)$ значение на левой границе $U_0$ и получаем задачу относительно новой функции $U(x,t) = u(x,t) - U_0$ со следующими г.у. и н.у:

$\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial t^2} = v^2\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial x^2}$

Начальные условия: $\left. U(x,t)\right|_{t=0}=-U_0\qquad \left. \frac{\partial U(x,t)}{\partial t}\right|_{t=0}=0$

Граничные условия: $\left. U(x,t)\right|_{x=0}=0\qquad\left.-\frac{\partial U(x,t)}{\partial x}\right|_{x=l} = L'C \frac{d^2U(x,l)}{dt^2}$

Ищем решение в виде $U(x,t)=X(x)T(t)$, после подстановки получаем два уравнения с общим параметром
$\frac{d^2X}{dx^2} + \omega^2 X = 0$ и $\frac{d^2T}{dt^2} + \omega^2 v^2 T = 0$

После подстановки $X(x)$ в первое г.у. получаем $X(x) = C_1\sin\omega x$

Теперь подставляем $X(x)T(t)$ во второе граничное условие:

$-T\frac{dX}{dx} = L'CX\frac{d^2T}{dt^2}$ => $-C_1\omega\cos{\omega l} T = L'CC_1\sin{\omega l} \frac{d^2T}{dt^2}$
и видим, что это выражение аналогично $\frac{d^2T}{dt^2} + \omega^2 v^2 T = 0$, откуда получаем

$\omega^2v^2 = \frac{\omega\cos{\omega l}}{L'C\sin{\omega l}}$

В итоге собственные значения находятся путем решения трансцендентного уравнения, более того, они находятся правильно, я проверял их, решая задачу через преобразование Лапласа.

Поэтому утверждение о том, что собственные значения нельзя найти в принципе, считаю неправильным. Мой вопрос заключается в том, что делать дальше, как найти коэффициенты при синусах в $\sum_{n=1}^\infty {C_n \sin\omega_n x} = -U_0$ ?

[ewert]

iunknown в сообщении #247597 писал(а):

Ищем решение в виде $U(x,t)=X(x)T(t)$,

Это -- принципиальный момент.

Естественный вопрос: "А почему именно в таком-то виде?..."

Традиционный ответ: "А потому что нам так хоцца."

Встречный вопрос: "А почему хоцца-то?..."

Ответ: "А вот хоцца -- и всё тут."

Меж тем как правильный ответ звучал бы примерно так: "Потому, что получаемые при таком подходе функции $X(x)$ оказываются собственными функцииями некоторого самосопряжённого оператора -- а значит, образуют полную ортогональную систему -- а значит, по ним можно разложить что угодно, ну вот хотя бы и искомое решение."

Но если никаких самосопряжённых операторов не наблюдается -- то и вся эта техника лишается какого бы то ни было смысла.

[iunknown]

ewert в сообщении #247603 писал(а):

iunknown в сообщении #247597 писал(а):

Ищем решение в виде $U(x,t)=X(x)T(t)$,

Это -- принципиальный момент.

Естественный вопрос: "А почему именно в таком-то виде?..."

Традиционный ответ: "А потому что нам так хоцца."

Встречный вопрос: "А почему хоцца-то?..."

Ответ: "А вот хоцца -- и всё тут."

Меж тем как правильный ответ звучал бы примерно так: "Потому, что получаемые при таком подходе функции $X(x)$ оказываются собственными функцииями некоторого самосопряжённого оператора -- а значит, образуют полную ортогональную систему -- а значит, по ним можно разложить что угодно, ну вот хотя бы и искомое решение."

Но если никаких самосопряжённых операторов не наблюдается -- то и вся эта техника лишается какого бы то ни было смысла.

Да не лишается эта техника смысла. Собственные функции лишаются ортогональности, а техника дает правильные собственные значения...

-- Вт сен 29, 2009 22:43:58 --

Спасибо, кстати, за дискуссию, а то я один во всем мире с этой задачей ))

[ewert]

iunknown в сообщении #247605 писал(а):

, а техника дает правильные собственные значения...

Ну допустим. А толку-то с них, коли они ничего, ну решительно ничего не позволяют посчитать?... (да и сами по себе никакого физического смысла не имеют -- между прочим, именно по предыдущей причине)

[iunknown]

ewert в сообщении #247610 писал(а):

iunknown в сообщении #247605 писал(а):

, а техника дает правильные собственные значения...

Ну допустим. А толку-то с них, коли они ничего, ну решительно ничего не позволяют посчитать?... (да и сами по себе никакого физического смысла не имеют -- между прочим, именно по предыдущей причине)

Имеют они физический смысл. Будучи домноженными на скорость распространения волны, они представляют собой собственные частоты колебаний системы, которые самоценны.

Я все-таки сформулирую еще раз свой вопрос. Как искать коэффициенты разложения по неортогональным собственным фукнциям? Раз физическая задача имеет решение (операторным преобразованием волнового уравнения, г.у. и н.у. можно найти эти коэффициенты), значит и здесь есть выход. Моих математических способностей не хватает тут, не математик я...

[Утундрий]

ewert, если так уж "напрягает" временная производная в граничном условии, то можно ее выразить через пространственную непосредственно из самого уравнения.

[V.V.]

Если я не ошибся, то для задачи
$u_{tt}=v^2u_{xx}$,
$u|_{x=0}=0$, $u_{x}|_{x=l}=-au_{tt}|_{x=l}$,
$u|_{t=0}=\varphi(x)$, $u_t|_{t=0}=\psi(x)$
условие ортогональности имеет вид

$av^2X_m(l)X_n(l)+\int\limits_0^l X_m(x)X_n(x)\,dx=0$, $m\ne n$,
для $X_n(x)=\sin\lambda_n x$, где $\lambda_n$ - $n$-й положительный корень уравнения $\mbox{\rm ctg} \lambda_nl=av^2\lambda_n$.

Соответственно, решением уравнения является разложение
$u(t,x)=\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos\lambda_nt+b_n\sin\lambda_nt)\sin\lambda_nx$,
а коэффициенты находятся из
$a_n=\frac{av^2\varphi(l)X_n(l)+\int\limits_0^l \varphi(x)X_n(x)\,dx}{av^2X_n^2(l)+\int\limits_0^l X_n^2(x)\,dx}$,
$b_n=\frac{1}{\lambda_n v}\frac{av^2\psi(l)X_n(l)+\int\limits_0^l \psi(x)X_n(x)\,dx}{av^2X_n^2(l)+\int\limits_0^l X_n^2(x)\,dx}$.