Геометрия Галилея: пересечение двух парабол

[МаSHA]

Помогите,пожалуйста! А то я тему ну совсем поняь не могу..!

Две параболы с параллельными осями пересекаются в точках A и B и касаются прямой в точках P и Q. доказать,что отрезок PQ делится поплам прямой AB.

[Алексей К.]

Ну очень, на мой взгляд, трудная задачка.
Подозреваю, что Вы учитесь в весьма продвинутом матВУЗе.
Если бы мне такие давали, когда я учился, то, наверное, я уже в 25 лет был бы умный. А так только, кажется, к 40а осознал всякие инвариантности и их прелести.

К делу. Для начала поблагодарим составителя, за то, что оси парабол параллельны. Подумаем, что указаные свойства (общаяя касательная, что-то там пополам делится) типа инвариантны относительно поворотов. Т.е. мы можем "без ограничения общности" считать эти оси вертикальными. А уравнения парабол считать такими:

$$ y=a_1x^2+b_1x+c_1\quad\mbox{и}\quad y=a_2x^2+b_2x+c_2.\eqno(1)$$

Но более того, мы вполне можем их переносами и гомотетиями привести к виду

$$ y=x^2\quad\mbox{и}\quad y=ax^2+bx+c.\eqno(2)$$

И с такими и работать.
А дальше пошёл обычный труд ---- искать точки пересечения, искать эту общую касательную. Тяжкий, повседневный труд математика. И студента от математики.
Я пока себя мучить не буду --- или кто-то ещё задачку упростит, или Вы напишете, чего там получается.
Но я бы решал вот так: после гениальной догадки (а именно вместо (1) рассматривать (2) ) дальше всё решал бы по-тупому.

[gris]

На самом деле подобные задачи решаются гораздо легче в геометрии Галилея, как и указано в названии темы, с циклами, двойственностью и т.п. Есть книжки для школьников, статьи в Кванте. Я решал когда-то такие задачи, да нынче всё мне тёмно, Маша. Что знал, то и забыл я. Да... Пришла худая череда. Зашибло...

[venco]

Аффинным преобразованием можно сделать касательную горизонтальной. А этот случай гораздо проще.
Собственно само преобразование искать не нужно (да и сложно), достаточно того, что оно есть и сохраняет пропорции.

[Dimoniada]

Доказательство почти аналогично доказательству похожего факта с окружностями в г. Евклида. Только надо слово "окружность" заменить словом "цикл" и учесть ориентацию прямых и углов.
Итак, пусть оси парабол сонаправлены с особой прямой г. Галилея. Точка $B$ находиться ближе к $PQ$, чем точка $A$; $AB\cap PQ$=$M$. Обозначим угловые коэффициенты ориентированных прямых $(AB)$,$(AQ)$,$(QB)$,$(QM)$ через $k_{1}$,$k_2$,$k_{3}$,$k_4$ соответстыенно. Для циклов в г.Галилея известен факт: $\widehat{MQB}$=$\widehat{QAB}$ (по аналогии с "угол между касательной $MQ$ и хордой $QB$ равен углу $\widehat{QAB}$, опирающимуся на дугу $QB$ окружности" в г.Евклида). Получаем $k_{3}$-$k_4$=$k_{1}$-$k_2$. Проведём через точку $P$ прямую $(l)$ параллельно $(QB)$ до пересечения с $AB$ в точке $F$, тогда её угловой коэффициент будет равен тоже $k_{3}$ и угол $\widehat{QPF}$=$k_{3}$-$k_4$=$\widehat{FAQ}$. Значит, точки $F$,$P$,$A$,$Q$ лежат на одном цикле! Но тогда $\widehat{FQP}$=$\widehat{FAP}$=$\widehat{BPQ}$, и по аналогичным рассуждениям прямые $FQ$ и $PB$ параллельны. Получили, что $FPBQ$ - параллелограмм (в обоих геометриях); $BF$ делит $QP$ пополам, ч.т.д. =*)
P.S.: см. брошюрку А.В.Хачатурян "Геометрия Галилея"