Вполне может быть, что предполагалось какое-нибудь другое решение, похитрее и попроще.
Вот попроще, и вроде совсем нехитро -- более-менее в лоб.
Для удобства сдвинем нумерацию:
![$\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}-{2\over n}a_n}$ $\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}-{2\over n}a_n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/6/066664f6d56d7fa8afb80ed7f04e745482.png)
. Тогда
![$\displaystyle {a_{n+2}\over a_{n+1}}=1-{2\over n}\cdot{a_n\over a_{n+1}}$ $\displaystyle {a_{n+2}\over a_{n+1}}=1-{2\over n}\cdot{a_n\over a_{n+1}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/3/603a5815ad1ce17b630765b1ff89846e82.png)
. Если при каком-то
![$n>8$ $n>8$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/e/39e4cd6eb97d37ee2d13015080efb50682.png)
выполнено
![$a_n,\;a_{n+1}>0$ $a_n,\;a_{n+1}>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/3/1436640949973cd5d958215e55e1591982.png)
и при этом
![$\displaystyle {a_n\over a_{n+1}}\in(1;\;2)$ $\displaystyle {a_n\over a_{n+1}}\in(1;\;2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/0/6400d50e5d4b66268d104be3e8a581c182.png)
, то это же будет верно и для всех последующих
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. Следовательно, последовательность будет положительной и монотонно убывающей, начиная с некоторого номера. Но тогда из исходного уравнения следует
![$\displaystyle a_{n+2}\leqslant\left(1-{2\over n}\right)a_{n+1}$ $\displaystyle a_{n+2}\leqslant\left(1-{2\over n}\right)a_{n+1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/0/3b0dd9405328a34a84da7dac7b1aac8982.png)
, откуда легко получается
![$\displaystyle a_{n}\leqslant{C\over n^2}$ $\displaystyle a_{n}\leqslant{C\over n^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/0/4f0a780b961e5059307c46a186eb0f7682.png)
(и даже
![$\displaystyle a_{n}\sim{C\over n^2}$ $\displaystyle a_{n}\sim{C\over n^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/1/c11bc3f66e4084bed2e0c370e2dcaedf82.png)
).
Дальше просто. Ограничениям
![$a_9,\;a_{10}>0$ $a_9,\;a_{10}>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/0/6a0a47bcff9e4a1988dab3601a8fef4c82.png)
и
![$\displaystyle {a_9\over a_{10}}\in(1;\;2)$ $\displaystyle {a_9\over a_{10}}\in(1;\;2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/7/1276f1d2cc8b89d9ada25a9a64fc2a9a82.png)
удовлетворяют как минимум две независимых пары чисел. Уравнение у нас линейное и второго порядка, а значит, существует базис в пространстве решений, для элементов которого
![$a_n=O(n^{-2})$ $a_n=O(n^{-2})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/6/47670f834f8877663714117d0ecdceee82.png)
. Но тогда эта оценка верна и вообще для любого решения. Т.е. ряд сходится (абсолютно) для любого решения.