Решение кубических уравнений и формула Кардано.

[Mitrius_Math]

Возникли проблемы в ходе решения уравнений третьей степени методом Кардано.
1. Дано уравнение $x^3+3x^2-6x-8=0$ (составил сам). Сначала решаю путём подбора корней среди делителей свободного члена. $x_0=-1$ обращает уравнение в верное числовое равенство, делю $x^3+3x^2-6x-8$ на $x+1$ и получаю квадратный трёхчлен, корни которого $x_1=2$ и $x_2=-4$. Всё сходится: именно такие числа я и использовал при составлении кубического уравнения. Тут всё просто и понятно.
Далее применяю метод Кардано. После замены $x=y-1$ исходное уравнение принимает вид $y^3-9y+0=0$ ($y^3+py+q$). Его дискриминант $D=-4p^3-27q^2=4*9^3$, факт его положительности говорит о наличии трёх вещественных корней (как и было показано выше). Корни находятся по следующим формулам: $y_1=A+B$; $y_2,y_3=-\frac {A+B}{2} \pm i\frac {A-B}{2}\sqrt{3}$, где $A=\sqrt[3]{-\frac {q}{2}+\sqrt{-\frac {D}{108}}}=\sqrt[3]{3\sqrt{3}i}$, $B=\sqrt[3]{-\frac {q}{2}-\sqrt{-\frac {D}{108}}}=-\sqrt[3]{3\sqrt{3}i}$. Кубические корни из комплексного числа имеют три значения. Представив числа в тригонометрической форме, я нашёл: $A_1=\frac {3}{2}+\frac {\sqrt{3}}{2}i$, $A_2=-\frac {3}{2}+\frac {\sqrt{3}}{2}i$, $A_3=-\sqrt{3}i$, $B_1=-\frac {3}{2}-\frac {\sqrt{3}}{2}i$, $B_2=\frac {3}{2}-\frac {\sqrt{3}}{2}i$, $B_3=\sqrt{3}i$. Но $A$ и $B$ подбираются так, чтобы выполнялось условие $A*B=-\frac {p}{3}=3$. Получается, что таких пар три? Или я что-то сделал неправильно? Я взял $A_1=\frac {3}{2}+\frac {\sqrt{3}}{2}i$ и $B_2=\frac {3}{2}-\frac {\sqrt{3}}{2}i$, подставил в формулы и получил три корня: $y_1=3$ ($x_1=2$), $y_2=0$ ($x_2=-1$), $y_3=-3$ ($x_3=-4$).
2. Решаю другое составленное мной уравнение $x^3-2x^2-x+2=0$. Подбором определяю один из корней, далее следует деление многочлена и решение квадратного уравнения. Корни таковы: $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-1$.
После этого применяю формулу Кардано, приведя уравнение к виду $y^3-\frac {7}{3}y+\frac {20}{27}$ ($y^3+py+q$). Можно ли применять метод Кардано, если уравнение неполное, но у него дробные коэффициенты? $A=\sqrt[3]{-\frac {10}{27}+\frac {\sqrt{3}}{3}i}$, $B=\sqrt[3]{-\frac {10}{27}-\frac {\sqrt{3}}{3}i}$. Для того чтобы представить числа под кубическими радикалами в тригонометрической форме, мне пришлось приближенно вычислять $\phi_0\approx 2,14$ рад. Есть ли в данном случае иные способы вычисления кубических корней? Использовав формулу Муавра в виде $\omega_k=\sqrt[n]{r}(\cos(\frac {\phi_0+2k\pi}{n})+i\sin(\frac {\phi_0+2k\pi}{n}))}$, где $k=0,1,2$, приближенно вычислил значения $A$ и $B$: $A_1\approx 0,666+0,579i$, $A_2\approx -0,833+0,288i$, $A_3\approx 0,168+0,866i$; $B_1\approx 0,287+0,833i$, $B_2\approx -0,866-0,167i$, $B_3\approx 0,577-0,667i$. Судя по всему, тут нет такой пары $A$ и $B$, произведение которой $A*B=-\frac {p}{3}=\frac {7}{9}$. В чём моя ошибка?
Помогите, пожалуйста, разобраться.

[Виктор Викторов]

Лучше применять для дискриминанта формулу: $D=(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2$
Соответственно изменятся формулы для $A$ и $B$.

[Mitrius_Math]

Виктор Викторов в сообщении #239007 писал(а):

Формулы для $A$ и $B$ тоже враньё, но найдите их уже самостоятельно.

Формулы для $A$ и $B$ взял с этого форума. Где бы я не читал об этом, везде разное изложение, и в учебниках тоже.

[Xaositect]

Mitrius_Math в сообщении #239001 писал(а):

Получается, что таких пар три? Или я что-то сделал неправильно?

Таких пар 3.

Mitrius_Math в сообщении #239001 писал(а):

Можно ли применять метод Кардано, если уравнение неполное, но у него дробные коэффициенты?

Можно.

Mitrius_Math в сообщении #239001 писал(а):

Есть ли в данном случае иные способы вычисления кубических корней?

Есть разные способы приближенного вычисления корней, этот - пожалуй, самый удобный для вычисления "на бумажке"

Mitrius_Math в сообщении #239001 писал(а):

В чём моя ошибка?

Ошибка Ваша арифметическая, у Вас $B_i$ неверно посчитаны.
Если бы Вы хорошо знали геометрическую интерпретацию комплексных чисел, Вы бы это заметили: под корнем стоят числа $a+b i$ и $a - b i$, значит, и корни у них будут парами сопряженных. То есть могли бы не считать лишний раз.

-- Сб авг 29, 2009 23:10:21 --

Виктор Викторов в сообщении #239007 писал(а):

Враньё в формулах: Формулы для и тоже враньё, но найдите их уже самостоятельно.

Не, формулы правильные.
У Вас тоже правильные, они постоянным коэффициентом различаются

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #239011 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #239007 писал(а):

Враньё в формулах: Формулы для и тоже враньё, но найдите их уже самостоятельно.

Не, формулы правильные.
У Вас тоже правильные, они постоянным коэффициентом различаются

Вы правы, но эти попроще.

[Mitrius_Math]

Xaositect в сообщении #239011 писал(а):

Ошибка Ваша арифметическая, у Вас $B_i$ неверно посчитаны.
Если бы Вы хорошо знали геометрическую интерпретацию комплексных чисел, Вы бы это заметили: под корнем стоят числа $a+b i$ и $a - b i$, значит, и корни у них будут парами сопряженных. То есть могли бы не считать лишний раз.

Спасибо. Я понял.

Xaositect в сообщении #239011 писал(а):

формулы правильные.
У Вас тоже правильные, они постоянным коэффициентом различаются

Если бы формулы были неправильные, то, думаю, первое уравнение не удалось бы решить.

-- Вс авг 30, 2009 00:17:09 --

Виктор Викторов в сообщении #239007 писал(а):

Лучше применять для дискриминанта формулу: $D=(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2$
Соответственно изменятся формулы для $A$ и $B$.

А как они тогда будут выглядеть?

[Виктор Викторов]

$A=\sqrt[3]{-\frac {q}{2}+\sqrt{D}}$, $B=\sqrt[3]{-\frac {q}{2}-\sqrt{D}}$

[dmd]

пусть уравнение записано в виде

$f=a x+b x^2+c x^3$

тогда можно искать решение так

$A=\frac{-(a b+9 c f)+\sqrt{(a b+9 c f)^2-4 \left(b^2-3 a c\right) \left(a^2+3 b f\right)}}{2 \left(b^2-3 a c\right)}$

$G=a+2 A b+3 A^2 c$

$F=G^3-27c\left(a A+A^2 b+A^3 c-f\right)^2$

$B=\left\{F^{1/3},-(-1)^{1/3} F^{1/3},(-1)^{2/3}F^{1/3}\right\}$

$x=\frac{2 a A+A^2 b+A B-3 f}{B-G}$

Эта формула не считает кратные корни, но может считать при $c=0$, получая решение квадратного уравнения

[ewert]

Mitrius_Math в сообщении #239001 писал(а):

В чём моя ошибка?

Лень проверять. Но чтоб не путаться и не мучиться, лучше честно сосчитать, например, все три значения $A$, а парные к ним значения $B$ просто взять равными $-{p\over3A}$ (и делить, естественно, в тригонометрической форме, раз уж она всё равно уже есть). Именно потому, что произведение этих чисел обязано быть равным $-{p\over3}$.

[Алексей К.]

Mitrius_Math в сообщении #239009 писал(а):

Формулы для $A$ и $B$ взял с этого форума. Где бы я не читал об этом, везде разное изложение, и в учебниках тоже.

В учебниках я этого не читал, но три известнейших справочника --- Корн, Бронштейн-Семендяев, Цыпкин (с которого записан этот материал на форуме) излагают этот вопрос одинаково. Предлагаю на них и равняться.

[maxal]

вот еще авторитетный источник: http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html

[Sergey-Cop]

Xaositect в сообщении #239011 писал(а):

...
формулы правильные.

Формулы-то правильные.
Но вот если выбирать, какая из формул предпочтительней, то вот что получается:

При дискриминанте $D=-4p^3-27q^2$, появляются лишние минусы, т.е. и в дискриминанте, и в формуле.
Это лишние операции, лишние заморочки и дополнительные шансы ошибиться (и запутаться в плюсах минусах) по ходу решения.

Во-вторых, это намек на мнимую единицу.
При $D=-4p^3-27q^2$, формула такова:
$A=\sqrt[3]{-\frac {q}{2}+\sqrt{-1\cdot \frac {D}{108}}}$
Но по факту, мнимая единица здесь не показано явно, а только лишь намек. Т.е. это «порнография», а не формула, «ни к селу, ни к городу».
Но даже если б выделили мнимую единицу $i$, тогда бы возник другой ляпсус: условия-то есть и без комплексных чисел, и эта $i$ здесь не у дел.

Вывод:
Так что, хотя и при $D=-4p^3-27q^2$ формула правильная, но составлена она безграмотно.

Ну а если дискриминант $D=(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2$,
или $D=4p^3+27q^2$, то, полагаю, это дело вкуса, кому как больше нравится вычислять.

[Mitrius_Math]

Sergey-Cop, я тоже считаю, что вторая формула дискриминанта лучше. С этим вопросом я давно разобрался и научился решать кубические уравнения даже с комплексными коэффициентами. Но всё равно спасибо.

[ha]

Вообще-то у дискриминанта многочлена n-той степени есть строгое определение. Так что не надо называть $D$ дискриминантом.

[Mitrius_Math]

ha в сообщении #246700 писал(а):

Вообще-то у дискриминанта многочлена n-той степени есть строгое определение. Так что не надо называть $D$ дискриминантом.

Если строго, то да. Пусть будет просто D. Главное, что с помощью этих формул успешно решаются кубические уравнения с любыми коэффициентами.