Магические квадраты

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #244835 писал(а):

Подобный квадрат 9-го порядка давно известен. См. здесь.

На том же сайте на самом деле много подобных квадратов - вот сводная табличка:
http://digilander.libero.it/ice00/magic ... stant.html
В частности, там указаны квадраты с минимальными константами для порядков от 5 до 11, а также для 13 и некоторые, начиная с 16.
Причем, получается, что в A073520 для 5-го и 6-го порядка указаны неверные константы - там они 1703 и 930, в то время как по указанной ссылке 313 и 484.

[Nataly-Mak]

Да, очень интересную вы нашли табличку. Получается, что я могу добавить в эту табличку только квадраты 12-го и 14-го порядков, которых в ней почему-то нет. Неизвестны? Магические константы всех остальных подобных квадратов, построенных мной, начиная с порядка 7, совпадают со значениями в этой таблице. Но приоритет здесь уже принадлежит не мне.
кстати, я сама вчера занялась проверкой констант квадратов 3 - 6. Так, например, моя программа выдала для порядка 6 такие потенциально возможные массивы простых чисел:
7, ..., 167 S = 484
41, ..., 223 S = 744
47, ..., 229 S = 806
59, ..., 239 S = 868
67, ..., 251 S = 930.
Я начала проверять набор, дающий константу 868. Моя программа выдаёт море полумагических квадратов, составленных из данного массива. Есть даже такие, в которых магической суммы нет только в одной диагонали. Например:

173 137 101 131 127 199
139 191 67 83 239 149
197 167 107 113 223 61
59 71 179 227 103 229
89 193 181 151 97 157
211 109 233 163 79 73

Меня очень удивил этот факт; исходя из него, можно предположить, что существует такой магический квадрат, я не выполнила программу полностью, так как это требует много времени. А тут и ваше сообщение прочла, которое подтвердило моё подозрение, что минимальная константа для квадрата 6-го порядка в Энциклопедии указана неверно.

[Someone]

maxal в сообщении #245745 писал(а):

Причем, получается, что в A073520 для 5-го и 6-го порядка указаны неверные константы - там они 1703 и 930, в то время как по указанной ссылке 313 и 484.

А проверяли, в этой табличке точно магические квадраты, а не какие-нибудь полумагические?

[Nataly-Mak]

Посмотрела внимательно всю таблицу, которая приведена maxal'ем. Получается, что до порядка 20 в таблице есть три пропущенных порядка - 12, 14 и 15. Квадраты 12-го и 14-го порядка мной уже построены. Таким образом, теперь в последовательности до порядка 20 включительно имеется всего один пропуск - минимальная магическая константа для квадрата 15-го порядка из последовательных простых чисел. Призадумалась я: как же ликвидировать пробел в таблице? Ещё одна оптимизация и... вот квадрат 15-го порядка готов:

131 167 229 461 541 617 733 911 967 1091 1259 1279 1319 1471 1493
547 907 1583 1613 149 1423 193 1601 941 137 233 389 1039 1283 631
1019 181 751 163 1453 1301 1297 1277 271 1619 1327 691 277 281 761
1307 719 359 919 1063 653 1237 269 1433 863 1439 313 191 1021 883
503 1367 433 1013 829 1153 317 347 1109 491 1249 677 1451 1489 241
421 311 1487 439 1049 1409 1123 463 409 983 449 1031 1163 373 1559
1399 1193 419 1531 971 647 977 1051 709 479 1229 379 353 1093 239
599 953 1213 587 499 727 1321 787 307 1151 157 1571 1033 773 991
211 1291 1499 577 1087 349 947 467 739 613 1171 1609 173 839 1097
563 139 1373 1459 1289 443 619 1201 1427 809 881 1303 331 263 569
607 1607 1511 673 1181 1481 1217 523 661 857 223 743 197 431 757
853 643 701 179 1483 571 769 859 1447 659 929 997 1223 1129 227
1549 887 257 557 367 1061 601 337 1361 937 1231 811 1543 293 877
1579 1187 397 1069 509 683 797 1567 401 383 641 283 823 827 1523
1381 1117 457 1429 199 151 521 1009 487 1597 251 593 1553 1103 821

Квадрат построен из следующего массива последовательных простых чисел: 131, ..., 1619 (по моим подсчётам это минимально возможный набор последовательных простых чисел для квадрата 15-го порядка). Его магическая константа равна $12669$.

maxal, мне непонятен один момент в таблице: для порядка 13 приведены две константы - 7125 и 7449. Но квадраты с такими константами, как я понимаю, не построены. Надо ли понимать так, что таких квадратов не существует? Так же точно для порядка 4: есть константы 124, 204 и 240, 328, 348, 468, но квадратов с такими константами нет. Значит, их просто не существует? Аналогичные константы есть и дальше в таблице (они не подчёркнуты). Может быть, об этом что-нибудь сказано в комментарии к таблице?
И ещё такой вопрос: на этом сайте принимают новые результаты?
Кстати, в последовательность А073520 желательно бы дослать константу для квадрата 15-го порядка (пока последовательность ещё не отредактирована), тогда последовательность до порядка 20 будет без пробелов.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #245836 писал(а):

maxal, мне непонятен один момент в таблице: для порядка 13 приведены две константы - 7125 и 7449. Но квадраты с такими константами, как я понимаю, не построены. Надо ли понимать так, что таких квадратов не существует? Так же точно для порядка 4: есть константы 124, 204 и 240, 328, 348, 468, но квадратов с такими константами нет. Значит, их просто не существует? Аналогичные константы есть и дальше в таблице (они не подчёркнуты). Может быть, об этом что-нибудь сказано в комментарии к таблице?
И ещё такой вопрос: на этом сайте принимают новые результаты?

Во-первых, это личный сайт человека по имени Tognon Stefano - наверное, он будет рад узнать квадраты отсутствующие в его таблице.
Во-вторых, он действительно пишет, что отсутствие линка на квадрат в этой таблице означает, что такой квадрат ему не удалось построить, как впрочем и продемонстрировать, что его не существует.
В-третьих, наличие нескольких констант для одного и того же порядка в таблице объясняется его интересом к обратной задаче - нахождение для заданного простого $p$ магических квадратов, состоящих из последовательных простых начиная с $p$. Результаты по этой задаче лучше представлены в этих табличках:
http://digilander.libero.it/ice00/magic ... rimes.html
а вообще заглавная страница для его результатов по магическим квадратам - это: http://digilander.libero.it/ice00/magic/index.html

Nataly-Mak в сообщении #245836 писал(а):

Кстати, в последовательность А073520 желательно бы дослать константу для квадрата 15-го порядка (пока последовательность ещё не отредактирована), тогда последовательность до порядка 20 будет без пробелов.

Чтобы не было путаницы, лучше дождаться, когда там появятся уже посланные правки.

-- Wed Sep 23, 2009 07:41:42 --

Nataly-Mak в сообщении #245773 писал(а):

Магические константы всех остальных подобных квадратов, построенных мной, начиная с порядка 7, совпадают со значениями в этой таблице. Но приоритет здесь уже принадлежит не мне.

Если вас волнует приоритет, то такие квадраты порядков от 5 до 9 были построены еще в 1957 японцами G. Abe и A. Suzuki (и опубликованы в книжке Abe "Study of Magic Suares"):
http://web.archive.org/web/200111220317 ... e.seq.html

[Nataly-Mak]

Спасибо за все разъяснения.
Приоритет меня сильно не волнует Я просто отметила, что такие квадраты были построены ещё до меня, а задача-то вами была сформулирована для квадрата 7-го порядка, вот я и взялась строить все подобные квадраты и настроила их аж до порядка 15. А новых-то вроде всего 3 оказалось, если я правильно поняла приведённую вами таблицу. Кстати, не исключено, что и подобные квадраты 12-го, 14-го и 15-го порядка кем-то уже построены. Так что, и здесь приоритет может принадлежать не мне.
Да, я заметила, что на сайте выложены квадраты, начинающиеся с определённого простого числа; например, там, где есть квадрат 9-го порядка, все три квадрата начинаются с числа 37, на другой странице все квадраты начинаются с числа 13 и т. д.
Хорошо, что есть автор сайта и он, наверное, интересуется всеми результатами по данной теме (как, впрочем, я интересуюсь), однако писать ему я не смогу: вряд ли он знает русский язык. Впрочем, посмотрю сейчас на главную страницу, если найду там адрес, то попробую написать.
***
Адрес автора сайта не нашла.

[maxal]

maxal в сообщении #245745 писал(а):

Причем, получается, что в A073520 для 5-го и 6-го порядка указаны неверные константы - там они 1703 и 930, в то время как по указанной ссылке 313 и 484.

По поводу квадрата 6-го порядка все немного интереснее. Квадрат с константой 930 мало того, что составлен из последовательных простых, так еще и является пандиагональным:

 [ 67 193 71 251 109 239 ]
[ 139 233 113 181 157 107 ]
[ 241 97 191 89 163 149 ]
[ 73 167 131 229 151 179 ]
[ 199 103 227 101 127 173 ]
[ 211 137 197 79 223 83 ]

Интересно проверить, является ли он минимальным таким квадратом (среди пандиагональных квадратов из последовательных простых чисел)?

-- Wed Sep 23, 2009 08:26:57 --

Nataly-Mak в сообщении #245863 писал(а):

Адрес автора сайта не нашла.

Есть на заглавной странице - http://digilander.libero.it/ice00/ (справа, не забудьте удалить из него слово ERASEME)

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #245866 писал(а):

Интересно проверить, является ли он минимальным таким квадратом (среди пандиагональных квадратов из последовательных простых чисел)?

Чтобы это проверить, надо построить другие пандиагональные квадраты из последовательных простых чисел. Условие наличия у квадрата пандиагональности у нас ещё нигде не появлялось. Строились просто наименьшие квадраты.

-- Ср сен 23, 2009 17:34:13 --

Ага, спасибо! Теперь нашла. Попробую пообщаться с итальянцем
Квадараты ведь интернациональны, они в переводе не нуждаются. Сейчас напиишу ему письмо и сообщу о своих результатах.

[Бодигрим]

Нашел несколько квадратов 5-го порядка из чисел Смита c $\Sigma=1831$.

4 166 634 762 265 
382 346 663 355 85 
645 517 454 121 94 
526 483 58 202 562 
274 319 22 391 825 

4 166 762 634 265 
382 346 535 483 85 
517 645 454 121 94 
654 355 58 202 562 
274 319 22 391 825 

22 202 706 636 265 
663 346 166 562 94 
274 634 483 121 319 
355 4 391 454 627 
517 645 85 58 526 

[Nataly-Mak]

Бодигрим в сообщении #246018 писал(а):

Нашел несколько квадратов 5-го порядка из чисел Смита c $\Sigma=1831$

Здорово! В минимальности константы пока не убедились? Всё равно очень хорошие результаты. Теперь известен интервал, в котором минимальная константа находится. Как я уже писала, по моим экспериментам, она не должна быть меньше 1534. Теперь известна верхняя граница. Будет проще найти минимальную константу. Впрочем, может быть, она уже вами найдена

[Nataly-Mak]

Stefano Tognon мне ответил!
У него есть интереснейшие результаты. В частности, он построил магические квадраты подобные квадрату Манси порядков 15, 17, 22, 35 и 124. Вот цитата из его письма:

Цитата:

"Maybe I had already found the Muncey square you are looking for:
12,15,17,22:
http://digilander.libero.it/ice00/magic ... ction.html
35: http://digilander.libero.it/ice00/magic ... der35.html
124: http://digilander.libero.it/ice00/magic ... er124.html

The latest had need some manual work, but all the others are from
automatic program".

Здорово! А я никак не могу построить подобный квадрат 15-го порядка. Константы для порядков 17, 22 и 35 тоже вычислила, но даже и не приступала к построению этих квадратов.
Я посоветовала ему предложить в OEIS новую последовательность: из магических констант квадратов подобных квадрату Манси. Он фактически уже создал эту последовательность, первый член в этой последовательности - это константа квадрата Манси - 4514. Итак, последовательность имеет вид:
$4514, 9635, 14691, 34926, 162759$. И ещё плюс константа квадрата 124-го порядка, я её не нашла по указанной ссылке, квадрат вижу, а константу не вижу, а считать не хочется.
Интересно, а есть ли подобные квадраты порядка больше 124? Написала этот вопрос Стефану.
Он прислал мне дистрибутив и пишет, что я сама могу скомпилировать любую программу (язык С++). Достаточно указать всего два параметра: порядок квадрата и первое простое число в массиве, из которого квадрат будет составляться (квадрат по такой программе составляется из последовательных простых чисел). Вот это класс!
К сожалению, я не могу разобраться в этом материале и скомпилировать нужные мне программы. Ни разу ещё не приходилось делать это на компьютере (раньше, конечно, делала это на старой ещё ЭВМ).
Всё равно чертовски интересно пообщаться с заинтересованным человеком. Он занимается магическими квадратами из простых чисел с 2002 года или даже раньше. Его восхитил знаменитый квадрат Манси. Да, я тоже восхищаюсь этим квадратом и удивляюсь, как Манси построил его без компьютера.

-- Пт сен 25, 2009 14:51:09 --

Последовательность А073520 изменена. В статье появился даже мой последний квадрат 15-го порядка (его отправил в Энциклопедию Stefano Tognon). Однако мне непонятно, почему сама последовательность обрывается на константе $9660$ квадрата 14-го порядка. Почему нет константы квадрата 15-го порядка ($12669$)? И дальше, как я понимаю, в Таблице S. Tognon приведены константы для квадратов порядков 16 - 20. Почему нет этих констант?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #246386 писал(а):

Последовательность А073520 изменена. В статье появился даже мой последний квадрат 15-го порядка (его отправил в Энциклопедию Stefano Tognon). Однако мне непонятно, почему сама последовательность обрывается на константе $9660$ квадрата 14-го порядка. Почему нет константы квадрата 15-го порядка ($12669$)? И дальше, как я понимаю, в Таблице S. Tognon приведены константы для квадратов порядков 16 - 20. Почему нет этих констант?

Странные вы вопросы задаете. Если какой-то информации нет в OEIS - значит, ее туда никто не добавил. Ранее я послал туда только константы для порядков вплоть до 14, а что конкретно послал Tognon - известно только ему.
Вот только что я отослал туда константы для порядков до 20, через несколько дней должны появиться.

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #246440 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #246386 писал(а):

Последовательность А073520 изменена. В статье появился даже мой последний квадрат 15-го порядка (его отправил в Энциклопедию Stefano Tognon). Однако мне непонятно, почему сама последовательность обрывается на константе $9660$ квадрата 14-го порядка. Почему нет константы квадрата 15-го порядка ($12669$)? И дальше, как я понимаю, в Таблице S. Tognon приведены константы для квадратов порядков 16 - 20. Почему нет этих констант?

Странные вы вопросы задаете. Если какой-то информации нет в OEIS - значит, ее туда никто не добавил. Ранее я послал туда только константы для порядков вплоть до 14, а что конкретно послал Tognon - известно только ему.
Вот только что я отослал туда константы для порядков до 20, через несколько дней должны появиться.

Ничего странного не вижу! Квадрат 15-го порядка с константой $12669$ в статье выложен. А самой константы 12669 в последовательности нет. Или Stefano Tognon забыл сообщить, что магическая константа этого квадрата равна 12669, а редактор не смог сам её посчитать?
далее, в статье дана ссылка на Таблицу Tognon, а в этой таблице указаны константы квадратов 16 - 20 порядков. Однако эти константы тоже не включены в последовательность.

[maxal]

Уже есть все константы вплоть до 20-й: A073520

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #246588 писал(а):

Уже есть все константы вплоть до 20-й:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A073520

Уже вижу!

-- Сб сен 26, 2009 08:44:45 --

О последовательности
А073502.
В этой последовательности сейчас такие константы имеются:
$111, 102, 213, 408, 699, 1114, 1681, 2416, 3355, 4514, 5937, 7626$.
Последняя константа квадрата 14-го порядка. Квадраты порядков 15, 17, 22 и 35 подобны квадрату Манси (то есть составляются из последовательных нечётных простых чисел, начиная с числа 1), все эти квадраты уже построены S. Tognon.
Для квадрата 16-го порядка я вчера сообщила S. T. найденный уже мной массив чисел и магическую константу. Было интересно посмотреть работу его программы в действии. Сегодня утром я получила от него готовый магический квадрат:

733  199  673  1049 883  1069 1103 349  613  11   887  1549 977  523  1231 137  
941  929  389  107  823  157  1229 631  1213 569  439  1019 1321 487  443  1289 
1093 1097 769  683  1013 103  1063 281  1283 1223 1279 257  577  773  59   433  
479  397  5    787  593  1553 1277 263  907  131  967  1319 109  1447 1601 151  
223  3    1487 53   953  563  1433 367  829  1559 1087 97   313  557  991  1471 
691  71   1621 431  283  163  37   1033 1423 1259 587  1429 1483 1009 173  293  
233  997  1427 1409 1031 1361 571  1381 13   877  191  1373 521  503  67   31   
359  971  1021 197  719  1297 149  41   1    1451 1583 1051 641  1511 647  347  
1163 881  499  919  337  1181 761  419  1499 251  757  89   709  179  1039 1303 
331  211  727  1193 1201 797  1567 853  947  661  1109 421  461  811  79   617  
1327 193  7    827  1249 467  743  1609 701  1061 1459 229  1237 677  127  73   
1217 1543 659  383  1531 167  1453 857  139  29   277  83   379  607  1571 1091 
643  1439 983  1291 311  839  47   1367 113  491  23   1151 43   1129 1307 809  
463  353  619  239  457  1597 227  911  1117 1301 181  547  1613 269  599  1493 
601  1579 859  937  61   401  307  1523 17   739  409  863  1153 317  1399 821  
1489 1123 241  1481 541  271  19   101  1171 373  751  509  449  1187 653  1627

Таким образом, данная последовательность пополнилась ещё тремя членами: $9635, 11986, 14691$. Далее следует пробел для квадратов порядков 18 - 21, константа квадрата порядка 22 - $34926$.
Думаю, что S. T. скоро продолжит эту последовательность до порядка 30 или даже дальше. Он пишет, что до порядка 30 его программы выполняются без проблем. Он ответил на мой вопрос о квадрате подобном квадрату Манси порядка больше 124; это может быть квадрат порядка 191. Он собирается построить этот квадрат! Кстати, константа квадрата 124-го порядка (которую я не указала в предыдущем сообщении) равна $9912840$, а константа квадрата 191-го порядка будет равна $39541261$. Эти константы сообщил мне S. T.
Инересно, что программы S. T. могут строить квадраты из любого заданного массива чисел. Вот только к построению наименьших квадратов из чисел Смита их, наверное, нельзя приспособить, так как здесь неизвестен массив чисел, из которого будет составляться квадрат.
Я вчера целый день работала над построением наименьшего магического квадрата из смитов 6-го порядка. Пока нулевой результат. Удалось построить очень много полумагических квадратов с константой 2787:

517 382 22 1165 346 355
1255 654 4 58 438 378
562 391 526 535 319 454
166 690 778 274 27 852
202 576 728 121 895 265
85 94 729 634 762 483

Однако ни один из них не превращается в магический квадрат. И насчёт минимальности данной магической константы ничего не могу сказать.
Пригласила S. T. принять участие в решении этой задачи.
***
Бодигрим, вы почему-то ничего не ответили на вопрос о минимальности магической константы построенных вами квадратов 5-го порядка из смитов. Или вы ещё выясняете, действительно ли она минимальна?