Биекции между промежутками

[ewert]

maxmatem в сообщении #245995 писал(а):

вот я к вам и обратился как их получать!

Не-зна-ю. Я привык к тому, что ответы на стандартные вопросы следует получать исключительно комбинациями стандартных же приёмов. И применение в подобных случаях изощрённых тригонометрий -- откровенно неспортивно. Кроме, конечно, специфических случаев. Но Ваши к ним не относятся.

[id]

В задаче 36 устанавливается биекция интервала $(0,1)$ и отрезка $[0,1]$. Вы понимаете принцип?

[maxmatem]

Да!

[id]

Таак, хорошо! Теперь как аналогичным образом установить биекцию интервала $(c,d)$ и отрезка $[a,b]$? Может, стоит линейными преобразованиями ( которые биективны ) преобразовать $(c,d)$ и $[a,b]$ соответственно к $(0,1)$ и $[0,1]$?

[maxmatem]

а какими? я что-то не догадываюсь...
может параллельным переносом?

[id]

Ну скажем $f(x): (c,d) \to (0,1)$, $f(x) = \frac {x-c} {d-c}$.
Для отрезка - аналогично.

Пусть биекция между $(0,1)$ и $[0,1]$ - это $g$ ( построенная в задаче 36 ), $f$ - между $(c,d)$ и $(0,1)$, $h$ - между $[a,b]$ и $[0,1]$.
Из них теперь можно составить последовательным применением нужную искомую биекцию $(c,d)$ и $[a,b]$.

[Профессор Снэйп]

id в сообщении #245984 писал(а):

Непрерывным образом нельзя установить биекцию отрезка и интервала в принципе.

И даже с конечным числом точек разрыва нельзя

[id]

Профессор Снэйп
Не проверял, действительно ли?

[rishelie]

Проще всего тут, наверное, так рассуждать.
Пусть есть биекция $f:(0,1)\to[0;1]$, у которой есть единственная точка разрыва $a\in(0;1)$.
Тогда на интервалах $(0;a)$ и $(a;1)$ функция $f$ непрерывна и инъективна, а значит, строго монотонна. Следовательно, их образы тоже суть интервалы: $f(0;a)=(b;c)$ и $f(a;1)=(d,f)$. Осталось заметить, что $[0;1]$ никак нельзя представить в виде $(b;c)\cup(d;f)\cup\{f(a)\}$.
Аналогично для любого конечного числа точек разрыва.

Тут вообще, по-моему, все дело кроется в том, что если множество точек разрыва замкнуто, то оно должно переходить само в себя при биективном отображении $f$, т.к. на области непреывности $f$ образы открытых открыты и прообразы открытых открыты, а у нас еще есть дополнительные точки - границы отрезка $[0;1]$, - которые должны быть образами точек разрыва. Поэтому при конечном числе точек разрыва их просто не хватает