Биекции между промежутками

[ИСН]

Как описал id выше.

[maxmatem]

а методом Алексея К!

[ИСН]

Нет. Это из другой оперы.

[Алексей К.]

Я из сонма Ваших задачек выбрал простенькие, именно под этот метод. Просто интервал в отрезок по жизни не приходилось биектировать. Да и за словом "биекция" я сбегал в Википедию, заподозрив за ним с детства знакомое "взаимно-однозначное соответствие".

[maxmatem]

а $[1,3]\to\((-1,0)$ то ответ $f(x)=\frac{3(x+d)}{3cd+1}$, верно?

[id]

Непрерывным образом нельзя установить биекцию отрезка и интервала в принципе.

[maxmatem]

вот я нарисовал но оси OX точки 1 и 3 а на оси ОУ точки -1 и 0. и не представляю какая ф-ия должна тут быть!!! как её построить?

[ewert]

id в сообщении #245984 писал(а):

Непрерывным образом нельзя установить биекцию отрезка и интервала в принципе.

Вот именно. Тут надобно привлекать абстрактные теоремы: для открытых отрезков биекция устанавливается явной формулой, а что мощность не меняется при добавлении/выкидывании одной-двух точек (и даже счётного их количества) -- это общий факт.

[id]

Цитата:

Есть еще такой прием:
Допустим, нам надо установить биекцию между $(0,1)$ и $[0,1]$. Выберем в интервале мн-во точек $X_1 := \{\frac 1 n\}_{n=2}^{\infty}$, а в отрезке $X_2 := \{0,1\} \cup X_1$.
Оба множества $X_1$ и $X_2$ счетны, поэтому между ними существует биекция, которую легко выписать. Все остальные точки: $(0,1) \setminus X_1$ и $[0,1] \setminus X_2$ - можно оставить на месте.

Ну а как свести случай $[a,b]\to\((c,d)$ к этому - ясно из еще одного упражнения выше, в к-ве искомой биекции возьмётся композиция уже придуманных.

Проще не выйдет, мне кажется.

[maxmatem]

ну так как?как отрезок в интервал и интервал в отрезок я геометрически на картинки покажу, и даже понял! но как дело доходит до полуинтервала в луч, то тут наступает моё непонимание...

[ewert]

maxmatem в сообщении #245988 писал(а):

!!! как её построить?

Никак. Вы её явно не построите. Но можно доказать, что она существует.

[id]

Нет, ну биекция между $X_1$ и $X_2$ же все-таки достаточно явно выписывается.

[maxmatem]

ewert! в задачниках ответ на такие вопросы даётся в виде мухабойных тригонометрических формулах! вот я к вам и обратился как их получать!

[id]

Ок, если Вам интересен ответ из задачника, то посмотрите Очан, "Сборник задач по теории функций действительной переменной" страница 101 задача 36. Скачивается через http://www.poiskknig.ru/

[maxmatem]

я про него и говорю!честно говоря хочется научится эти то биекции строить!
ну как сразу додуматься до формулы выражающую $[1,3]\to\((-1,0)$