Равенство функций нескольких аргументов

[bin]

Доброго времени суток!

1) Дано: система координат 0XYZ в трехмерном пространстве и две функции z=1/x, z=1/y. Вопрос: правильно ли назвать эти функции равными?
2) Дано: то же самое, только функции $z = \frac 1 x+y$, $z = \frac 1 y+x$. Вопрос: тот же.

Если нельзя назвать равными, то как назвать отношение эквивалентности функций для указанных случаев (т.е. когда при перестановке переменных получаются тождественные выражения)? Конгруентность? Изоморфизм?...

(Из последующих вопросов станет ясно, почему выбрана именно эта ветка форума)

[arseniiv]

Никак не назвать. А записать можно так: $f_1(x,y)=f_2(y,x)$.
И придумать какое-нибудь обозначение типа $f_1 = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {f} _2 $

[bin]

А если надо назвать? Т.е. отметить такое свойство. А записать так не получится, поскольку речь пойдет о n-мерных задачах со сколь угодно большим n.

Можно, наверное, сказать "равные/совпадают с точностью до перестановки/переименования аргументов", но как-то это длинно, неэлегантно

[migmit]

Ну, изобретите какой-нибудь термин, если очень хочется. Только не такой, который постоянно используется в математической практике и имеет определённое значение.

Назовите такие функции, например, коджибулярными. Думаю, такого термина ещё нет.

[arseniiv]

Лучше уже что-нибудь поосмысленней! Например, транспараметрическими...
Вообще, раз есть назваание однородные для функций вида f(x,y)=f(y,x), почему нет названия для таких? Кстати, ещё их можно назвать взаимно однородными... Аппарат создания математических терминов довольно обширен!..

-- Вт сен 22, 2009 17:59:12 --

bin в сообщении #245475 писал(а):

А записать так не получится, поскольку речь пойдет о n-мерных задачах со сколь угодно большим n.

Говорите больше! Математика делает это возможным. А то как же вы приложите термин без чёткого определения? Сейчас что-нибудь придумаю...

[migmit]

Вообще-то, термин "однородная функция" с утра означал нечто совсем другое.

[bin]

А нет ли здесь противоречия?
Если я описываю алгоритм, то я описываю обе неравные функции одной и той же функцией, как на псевдокоде, так и на языке программирования при реализации этого алгоритма. Т.е. на псевдокоде это может выглядеть так:

Function F
Input: arg1, arg2
Return: 1/arg1+arg2

реализация на стандартном Паскале:

function F(arg1, arg2 : real) : real;
begin
F:=1/arg1+arg2
end;

Получается, что неравные функции алгоритмически могут быть заданы одним и тем же алгоритмом и реализованы одним и тем же исполняемым кодом!

PS. Метод описания алгоритма сути не меняет: вместо псевдокода может быть использован язык, близкий к естественному, традиционный для математической литературы докомпьютерной эпохи. Как испокон веков описывались классические алгоримы: алгоритм Эвклида, решето Эратосфена и т.д.

[migmit]

Ваш алгоритм F реализует первую из этих функций. Но не вторую. Противоречий нет.

[arseniiv]

$$f,\;g:{\Bbb R}^n \to {\Bbb R}$$

$$f\mathop \sim \limits^\leftrightarrow g \Leftrightarrow \exists t:{\text{подстановка степени}\;n}\;(\forall x_1 , \ldots x_n \in {\Bbb R}\;(f(x_1 , \ldots x_n ) = g(x_{t(1)}, \ldots x_{t(n)} )))$$

-- Вт сен 22, 2009 18:18:37 --

Вот, собственно... Это на случай действительнозначных функций, конечно

[bin]

migmit в сообщении #245486 писал(а):

Ваш алгоритм F реализует первую из этих функций. Но не вторую. Противоречий нет.

Нет же!: алгоритм реализует как первую, так и вторую. Вызовы на псевдокоде:

Let z = F(x,y)
Let z = F(y,x)

реализация на Паскале:

z:=F(x,y);
z:=F(y,x);

[arseniiv]

На самом деле, только одну. Он бы реализовал вторую функцию, если бы её тоже можно было написать g(x, y), а не обращать порядок параметров. Посмотрите лучше на моё определение... Как?

[bin]

arseniiv в сообщении #245492 писал(а):

На самом деле, только одну. Он бы реализовал вторую функцию, если бы её тоже можно было написать g(x, y), а не обращать порядок параметров. Посмотрите лучше на моё определение... Как?

Спасибо за определение. Ok! Оно необходимо, но, к сожалению, недостаточно: мне нужно описать алгоритм, где сравниваются две системы, и из того, что функции/операторы (в алгоритмическом, программистком смысле одинаковые), т.е. будут возвращать при любом значении парных (в соответствии с подстановкой) параметров, я делаю вывод, что системы также одинаковые. Если, например, каждая из систем представлена графом, то делается вывод, что графы изоморфны.

[migmit]

Цитата:

Нет же!: алгоритм реализует как первую, так и вторую. Вызовы на псевдокоде:

Отнюдь. Вы показали, как реализовать вторую функцию, если у вас уже есть первая. Это ДРУГОЙ алгоритм - внутри себя вызывающий первый.

И давайте вы ограничитесь чем-нибудь одним - Паскалем либо псевдокодом. Лучше паскалем: думаю, все присутствующие как минимум сумеют его нормально прочесть, а что не поймут - посмотрят в учебник. Для вашего псевдокода учебника нет.

Цитата:

мне нужно описать алгоритм, где сравниваются две системы

Поясните для начала, что вы понимаете под "системой".

[bin]

migmit в сообщении #245499 писал(а):

Цитата:

Нет же!: алгоритм реализует как первую, так и вторую. Вызовы на псевдокоде:

Отнюдь. Вы показали, как реализовать вторую функцию, если у вас уже есть первая. Это ДРУГОЙ алгоритм - внутри себя вызывающий первый.

И давайте вы ограничитесь чем-нибудь одним - Паскалем либо псевдокодом. Лучше паскалем: думаю, все присутствующие как минимум сумеют его нормально прочесть, а что не поймут - посмотрят в учебник. Для вашего псевдокода учебника нет.

И я предпочитаю Паскаль! ИМХО, описание алгоритма на стандартном Паскале - наиболее строгое (строгость, однозначность гарантированы стандартом!). Но ограничиваясь только Паскалем: у меня в программе определена только одна единственная функция (в смысле процедур и функций Паскаля, т.е. ключевое слово function использовано только 1 раз) F и пара ее вызовов.

[venco]

z:=1/x+y;
z:=x+1/y;

А у меня вообще слово function не использовано. Значит ли это, что функции нет?
Нет, это значит, что часть реализации второй функции, а именно - перестановку аргументов, вы переложили на вызывающий код.