2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Бюргерса
Сообщение17.09.2009, 09:56 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Дано дифференциальное уравнение $u_t+uu_x=0, u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}$. Решение этого уравнения $u(x,t)=\frac{1}{1+(x-ut)^2}$. Теперь необходимо найти время когда происходит градиентный шок, то есть $u_x=\infty$. Каким образом это можно сделать, если функция $u$ это неявная функция? Дифференцирование этой функции никакого упрощения не дало. Сделал $u=f(x-ut), f(x)=\frac{1}{1+x^2}, F=u-f(x-ut)$
$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial u}}=\frac{f'(x-ut)}{1-tf'(x-ut)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение17.09.2009, 10:43 


02/11/08
1193
Корректней использовать термин - градиентная катастрофа. Посмотрите например Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко "Системы квазилинейных уравнений" параграф 9 гл. 1. Решение методом характеристик там приведено для кусочно-линейного начального профиля при $t=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение17.09.2009, 10:55 
Заслуженный участник


08/09/07
841
А есть ли какой-нибудь источник в интернете? И что не правильно, в том решении которое я написал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение17.09.2009, 11:19 


02/11/08
1193
Если рисовать кривые $U(x)$ при фиксированных $t$ - то при некотором значение $t_k $нарушится однозначность функции $U(x)$ - задние "частицы" догонят "передние" и волна обрущится. В любом мат пакете можете построить картинки и даже саму поверхность.

Изображение

Я не увидел сразу, что Вы там внесли исправления. Решение у Вас правильное. А вот Ваше дифференцирование что-то смущает. Кстати вот так выглядят здесь характеристики. Они тут прямые (поскольку в правой части вашего уравнения стоит 0). По оси ординат отложено время. Там на картинке небольшая ошибка в начальных условиях - нужно $x(0)=x0$.

http://pages.rshu.ru/mamop/node9.html - например здесь можно посмотреть... google вам в помощь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение18.09.2009, 04:23 
Заслуженный участник


08/09/07
841
На самом деле, действительно, дифференцирование было не правильным. Я его исправил.
Проблема возникает, когда $1-tf'(x-ut)=0$. Решая это уравнение получаем время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение18.09.2009, 09:11 


02/11/08
1193
Как вариант - можно найти уравнение огибающей для семейства характеристик и острие "клювика" даст момент наступления градиентной катастрофы (по картинке примерно $t=1.8$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение18.09.2009, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Yu_K в сообщении #244331 писал(а):
(по картинке примерно $t=1.8$).
По картинке получается $t=1.5396$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение18.09.2009, 12:50 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Мне кажется можно точно найти это время. Запишем выражение для частной производной функции $U$ в виде

$U_x\{[ 1+ (x-Ut)^2 ]^2-2(x-Ut)\}=-2(x-Ut)$

Очевидно $U_x$ равна бесконечности ,если выражение в фигурных скобках равно $0$,т.е. при условии

$\dfrac {2(x-Ut)t}{[1+(x-Ut)^2]^2}=1$. Обозначим $y=(x-Ut)$ и исследуем на экстремум функцию $\dfrac {2y}{[1+y^2]^2}$ эта функция достигает максимума равного $ \dfrac{16}{25}$ при $y= \dfrac12$. Поэтому искомый момент времени определится из условия (отметим, что выбором $x$ мы можем придать $y$любое положительное значение в любой момент $t$)

$ \dfrac {16t}{25} =1$ или $t= \dfrac {25}{16}=1.5625$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение18.09.2009, 13:15 


02/11/08
1193
$ 8 \sqrt { 3 } /9$ - такой ответ, если повнимательнее посмотреть на картинку...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение19.09.2009, 05:27 


02/11/08
1193
Вопрос - как построить разрывное решение после наступления ГК? Можно ли для этих начальных данных выписать аналитические формулы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение19.09.2009, 21:38 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Методом, приведенным в моем предыдущем сообщении, можно точно вычислить момент град. катастрофы $t_0$ для достаточно общего класса функций $U(x,0)=f(x)$. Пусть, например, $f(x)$ положительна, монотонно стремится к$0$ при $x$, стремящемся к бесконечности, $f'(0)=0$. Тогда :

$t_0= \dfrac 1{max|f'(x)|}$, где $max$ ищем по $x \in (0, \infty)$. Получается, что $t_0$ зависит лишь от $max|f'(x)|$.

mihiv, хочу лишь подсказать Вам, что имеется команда \to для записи "стремления", например, $x\to 0$, $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$, $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0.$ /AKM

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение20.09.2009, 06:15 


02/11/08
1193
mihiv Как то смущает то, что не совпадают значения критических времен для метода характеристик и вашего. Там есть ошибка в математике у вас - максимум функции немного в другой точке - но даже если ее исправить - все равно похоже нет соответствия.

Для определения времени наступления ГК берутся две характеристики, выпущенные из разных точек $x_0$ и $x_1$, находится момент времени, соответствующий их пересечению - получается функция $t= w(x_0,x_1)$ и затем ищется $t_k$ - минимум этой функции двух переменных.

Мой вопрос про аналитические формулы относился к решению задачи $u(x,t)$ при $t>t_k$. Где ставить разрыв? Понятно из каких функций будет конструироваться решение, но скорость ударной волны (разрыва) здесь не постоянна, в отличии от случая традиционных ступенчатых начальных данных. Здесь УВ будет двигаться вправо по "непостоянному потоку" и вопрос как определить здесь траекторию движения разрыва? Численные картинки у меня есть - если кому-то интересно, могу здесь привести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение20.09.2009, 18:58 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Yu_K в сообщении #244888 писал(а):
Численные картинки у меня есть - если кому-то интересно, могу здесь привести.

Если не сложно, покажите картинки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение20.09.2009, 21:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Yu_k вы правы, максимум функции $ \dfrac {2y}{(1+y^2)^2}$ я посчитал неправильно,на самом деле он достигается в точке $y= \dfrac 1{ \sqrt3}$ и равен $ \dfrac {9}{8 \sqrt3}$ и тогда $t_0= \dfrac {8 \sqrt3}{9}$.В то же время в вашем сообщении написано:

Yu_K в сообщении #244377 писал(а):
$ 8 \sqrt { 3 } /9$ - такой ответ, если повнимательнее посмотреть на картинку...
Что же, получается совпадение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Бюргерса
Сообщение21.09.2009, 05:01 


02/11/08
1193
Вопрос mihiv - всегда ли достигается максимум Вашей функции на решении? Если достигается - то все нормально... Но например, для неоднородного уравнения Бюргерса (с ненулевой правой частью $g(u)$) характеристики будут кривыми и про начальный профиль решение быстро "забудет".

Картинки ниже. Профиль УВ размазан немного за счет схемной вязкости -

Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group