Решите, кто хочет. Просто интересно

[arseniiv]

Сам напридумывал... Везде в задачах распределение равномерное непрерывное, границы указаны.

П1. Профессор бегает по сфере, оставаясь ей всё время ортогональным, в разные стороны. Найти плотность вероятности его появления в точках сферы через время $t$, если известно его начальное положение и модуль скорости. Направление вектора скорости меняется случайным образом каждое мгновение.
П2. Профессор химии бежит по длинному коридору и с вероятностью $1/7$ каждую секунду роняет на пол пробирку с $10$ г раствора сахара. Сколько кг сахара станет после $7$ часов такой беготни на полу, когда лужи высохнут, если концентрация растворов с одинаковой вероятностью от $0$% до $25$%...
П3. Два профессора физики бегут по длинному коридору, начав одновременно в одном направлении, со ускорением, случайно изменяющимся равновероятно в пределах $0 - 1$ м/с^2. Найти среднее расстояние между профессорами через минуту.
П4. Профессор философии пускает мыльные пузыри с постоянной вероятностью распада $0,9$ радиусом $9$, а профессор биологии - с параметрами $0,1$ и $1$. Скорость - $1$ пузырь в секунду. Какое в среднем соотношение объёмов у того и другого после $128$ с отчаянных соревнований?
П5. Профессор химии поскользнулся на скользком полу длинного коридора и упал, и теперь весь липкий. На него садятся мухи с вероятностью от $2$ до $6$ мух в секунду, но каждую же секунду он отгоняет от себя $1/3$ мух. Мухи не квантованы. Среднее число мух через $10$ секунд - ?
П6. Профессор физики поспорил с биологическим, что монета упадёт $101$ раз на одну и ту сторону, однако перепутал карманы и вместо шарлатанской достал обычную. В скольких % альтернативных будущих его карманы равноценны?
П7. Вероятность выигрыша в игровом автомате $0,1$. Вероятность поворачивания между играми Удачи на профессора черчения равна $0,1$, вероятность последующего отворачивания $0,9$. Будучи встречаем взглядом Удачи, профессор выигрывает с вероятностью $0,5$. Какова вероятность всё время проигрывать $13$ раз подряд?

Надеюсь, посмешил немного
P.S. В результате опы... мысленных экспериментов ни один профессор не пострадал.

Примерно представляю, но не очень понимаю, как представить функции от случайной величины, а конкретнее, производные и первообразные таких функций...

[zubkovg]

На П1.
электрон вращающийся вокруг ядра его даже увидеть нельзя он слишком быстро вращается так что получается что он находится во всех точках сферы одновременно

[arseniiv]

Лучше б не писали, если не знаете...
Не вижу никакого прямого отношения к задаче

[zubkovg]

Я немного условие перепутал
Но можно составить программу которая бы эксперементальным путем нашла верхний предел при котором профессор обязательно появится

[arseniiv]

Он и не исчезал никуда! Он просто ходит по сфере со всё время меняющемся направлением. Равновероятно идя под любым углом. И программа плохо работает с нечисленными данными. Меня интересуют "чистые" решения

-- Вс сен 20, 2009 21:09:47 --


Вот посмотрите: профессор начал с выделенной точки и шёл куда глаза глядят.

[Sonic86]

По-моему в П1 направление профессора должно меняться хоть и случайно, но непрерывно, а то он так на полюсе и останется. В этом случае получится некоторое распределение, симметричное по долготе, сходящееся к нормальному с центром на полюсе, но потом расползающееся по всей сфере равномерно.

[arseniiv]

Да-да, тоже так думаю, чем больше время - тем ближе к нормальному с учётом замкнутости сферы; а на счёт непрерывности я не знаю...

[Юстас]

Чтобы сделать постановку корректной, я бы рассмотрел случай дискретного времени(случайное блуждание), потом предельный переход(что тоже требует формальности).

[jetyb]

П1.Рассмотрим случайную величину $\xi$ изменения широты профессора за единицу времени. Разбиваем время на $N $пормежутков с изменением широты $\xi_i=\frac{\xi}{N}$ , вспоминаем закон больших чисел:
$\forall\varepsilon >0 \lim\limits_{N\to\infty}P\left(\left|\frac{\sum\limits_{i=1}^N\xi_i}{N}-E\xi\right|<\epsilon\right)=1$
Ввиду симметричности случайные величины имеют нулевое математическое ожидание. Значит, дробя время на бесконечное число промежутков, получим, что в нашем предельном случае профессор останется на месте с вероятностью 1.
П2.Здесь рассматривается сумма независимых одинаково распределенных случайных величин с известной функцией распределения. Этих величин достаточно много (7*3600), так что разумно применить центральную предельную теорему.
П3.Аналогично первой задаче, профессор с вероятностью 1 будет иметь "постоянное" ускорение равное математическому ожиданию, в данном случае $\frac{1}{2} $.

Оставшиеся задачи не содержат ничего сложного. В них надо хорошо выбрать случайные величины, написать их функцию распределения, а по ней найти ответ.

[Macavity]

arseniiv в сообщении #244853 писал(а):

П1. Профессор бегает по сфере, оставаясь ей всё время ортогональным, в разные стороны. Найти плотность вероятности его появления в точках сферы через время , если известно его начальное положение и модуль скорости. Направление вектора скорости меняется случайным образом каждое мгновение.

Скорее всего её нельзя решить:$ds=vdt$
подразумевает, что скорость меняется непрерывно...
Во всяком случае траекторию движения профессора представить невозможно - это не из классической механики.