Пара вопросов по числовым последовательностям (OEIS)

[Профессор Снэйп]

1) Какова производящая функция для чисел Белла (A000110 в OEIS)? И связана ли она как-нибудь с тангенсом?

2) Пусть $a(n)$ равно числу предпорядков на $n$-элементном множестве. Каков номер последовательности $a(n)$ в OEIS (не смог найти )

[ИСН]

1) есть на Вольфраме.

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #244468 писал(а):

1) Какова производящая функция для чисел Белла (A000110 в OEIS)? И связана ли она как-нибудь с тангенсом?

Там же в OEIS есть несколько формул для произвоядщей функции. Искать по странице "g.f." Что-то гипергеометрическое...

[Профессор Снэйп]

Спасибо, по первому вопросу нашёл.

Там написано E.g.f. = $e^{e^x-1}$. Что такое e.g.f?

Ещё написано, что G.f. равна

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(1-kx)k!} $$

А вот про тангенс ничего не написано. Мне сегодня просто один человек сказал, что там что-то с тангенсом связано. Я не поверил, выходит, что правильно.

Кстати, задам тогда и третий вопрос (просто интересно). Возьмём разложение тангенса в ряд Маклорена:

$$ \tg x = \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!} x^k $$

Что это за последовательность $\{ a_k \}_{k \in \mathbb{N}}$? У неё есть какое-то специальное название? Будет ли она целочисленной?

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #244482 писал(а):

Что такое e.g.f?

http://en.wikipedia.org/wiki/Generating ... g_function

Профессор Снэйп в сообщении #244482 писал(а):

Кстати, задам тогда и третий вопрос (просто интересно). Возьмём разложение такгенса в ряд Маклорена:

Там с числами Бернулли. В вики есть:
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_ser ... _functions

[Профессор Снэйп]

Xaositect в сообщении #244487 писал(а):

Там с числами Бернулли. В вики есть:
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_ser ... _functions

Ага. Я так понимаю, что этот человек, с которым я сегодня разговаривал, Белла и Бернулли перепутал :) Спасибо!

-- Пт сен 18, 2009 23:12:35 --

Как всё-таки последовательность из второго вопроса искать? Набрал в OEIS "number of preorders", вылезла какая-то ерунда...

-- Пт сен 18, 2009 23:15:08 --

Нашёл!!! A000798. Там, оказывается, не preorder, а quasi-order :)

[maxal]

Профессор Снэйп в сообщении #244492 писал(а):

Как всё-таки последовательность из второго вопроса искать?

Самый верный вариант поиска каких-либо последовательностей - вычислить несколько начальных членов и искать уже по ним...

-- Sat Sep 19, 2009 10:50:15 --

Профессор Снэйп в сообщении #244468 писал(а):

И связана ли она как-нибудь с тангенсом?

Про тангенс, кстати, много всего интересного на MathWorld написано (и разложения в ряд в том числе):
http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html