Счетность рациональных чисел.

[RIP]

ewert в сообщении #244304 писал(а):

Без какой именно аксиомы выбора?

Совсем без аксиомы выбора (т.е. в ZF). Конечно, для док-ва достаточно какой-нибудь слабой версии аксиомы выбора, например, аксиомы счётного выбора.
Или вопрос в том, где именно используется аксиома выбора?

[ewert]

RIP в сообщении #244388 писал(а):

Конечно, для док-ва достаточно какой-нибудь слабой версии аксиомы выбора, например, аксиомы счётного выбора.

Нет, вопрос был именно в этом. Естественно, без счётной аксиомы ничего не получится -- без неё вообще ничего толкового и никогда не получится. Но это ещё не основание для того, чтоб жульнически приплетать какие-то расширенные версии.

[Профессор Снэйп]

Там, насколько я помню, доказательство счётности счётного объединения счётных множеств начинается так: пусть $A_0, A_1, \ldots$ --- последовательность счётных множеств, выберем семейство биекций $\{ f_i : \mathbb{N} \to A_i \}_{i \in \mathbb{N}}$... И вот это "выберем" как раз использует аксиому выбора!!! А без неё никак

Вот такое утверждение: "если существует сюрьекция $\mathbb{N}$ на $A$, то существует инъекция из $A$ в $\mathbb{N}$" --- оно доказывается без аксиомы выбора или нет?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):

И вот это "выберем" как раз использует аксиому выбора!!!

Счётную -- или безумно бессчётную?...

[RIP]

В предыдущих постах было сказано, что аксиома выбора ни при чём. Я это воспринимаю как утверждение, что существует доказательство в убогой ZF, вообще без какого-нибудь выбора.
А совсем без аксиомы выбора, пусть даже и счётного, можно много чего доказать, ту же счётность множества рациональных чисел, например.

-- Пт 18.9.2009 21:35:46 --

Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):

Вот такое утверждение: "если существует сюрьекция $\mathbb{N}$ на $A$, то существует инъекция из $A$ в $\mathbb{N}$" --- оно доказывается без аксиомы выбора или нет?

Доказывается без аксиомы выбора.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #244510 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):

И вот это "выберем" как раз использует аксиому выбора!!!

Счётную -- или безумно бессчётную?...

Счётную

-- Пт сен 18, 2009 23:42:38 --

RIP в сообщении #244513 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):

Вот такое утверждение: "если существует сюрьекция $\mathbb{N}$ на $A$, то существует инъекция из $A$ в $\mathbb{N}$" --- оно доказывается без аксиомы выбора или нет?

Доказывается без аксиомы выбора.

Типа если $g : \mathbb{N} \to A$ --- сюрьекция, то $f : a \mapsto \min \{ n : g(n) = a \}$ --- требуемая инъекция? Вроде да.

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):

Вот такое утверждение: "если существует сюрьекция $\mathbb{N}$ на $A$, то существует инъекция из $A$ в $\mathbb{N}$" --- оно доказывается без аксиомы выбора или нет?

Доказывается.
К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970. Глава V, § 2, Теорема 1.
Обратите внимание также на Теорему 7 (об объединении множеств значений счётного множества последовательностей), которая похожа на теорему о счётности объединения счётного множества счётных множеств (там же - Теорема 8), но доказывается без аксиомы выбора.

ewert в сообщении #244498 писал(а):

Естественно, без счётной аксиомы ничего не получится -- без неё вообще ничего толкового и никогда не получится. Но это ещё не основание для того, чтоб жульнически приплетать какие-то расширенные версии.

ewert, я как-то не ожидал, что Вы будете воевать с ветряными мельницами.