Вот такое утверждение: "если существует сюрьекция
на
, то существует инъекция из
в
" --- оно доказывается без аксиомы выбора или нет?
Доказывается.
К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970. Глава V, § 2, Теорема 1.
Обратите внимание также на Теорему 7 (об объединении множеств значений счётного множества последовательностей), которая похожа на теорему о счётности объединения счётного множества счётных множеств (там же - Теорема 8), но доказывается без аксиомы выбора.
Естественно, без счётной аксиомы ничего не получится -- без неё вообще ничего толкового и никогда не получится. Но это ещё не основание для того, чтоб жульнически приплетать какие-то расширенные версии.
ewert, я как-то не ожидал, что Вы будете воевать с ветряными мельницами.