2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Счетность рациональных чисел.
Сообщение18.09.2009, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3823
ewert в сообщении #244304 писал(а):
Без какой именно аксиомы выбора?
Совсем без аксиомы выбора (т.е. в ZF). Конечно, для док-ва достаточно какой-нибудь слабой версии аксиомы выбора, например, аксиомы счётного выбора.
Или вопрос в том, где именно используется аксиома выбора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность рациональных чисел.
Сообщение18.09.2009, 20:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
RIP в сообщении #244388 писал(а):
Конечно, для док-ва достаточно какой-нибудь слабой версии аксиомы выбора, например, аксиомы счётного выбора.

Нет, вопрос был именно в этом. Естественно, без счётной аксиомы ничего не получится -- без неё вообще ничего толкового и никогда не получится. Но это ещё не основание для того, чтоб жульнически приплетать какие-то расширенные версии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность рациональных чисел.
Сообщение18.09.2009, 20:29 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Там, насколько я помню, доказательство счётности счётного объединения счётных множеств начинается так: пусть $A_0, A_1, \ldots$ --- последовательность счётных множеств, выберем семейство биекций $\{ f_i : \mathbb{N} \to A_i \}_{i \in \mathbb{N}}$... И вот это "выберем" как раз использует аксиому выбора!!! А без неё никак :)

Вот такое утверждение: "если существует сюрьекция $\mathbb{N}$ на $A$, то существует инъекция из $A$ в $\mathbb{N}$" --- оно доказывается без аксиомы выбора или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность рациональных чисел.
Сообщение18.09.2009, 20:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):
И вот это "выберем" как раз использует аксиому выбора!!!

Счётную -- или безумно бессчётную?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность рациональных чисел.
Сообщение18.09.2009, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3823
В предыдущих постах было сказано, что аксиома выбора ни при чём. Я это воспринимаю как утверждение, что существует доказательство в убогой ZF, вообще без какого-нибудь выбора.
А совсем без аксиомы выбора, пусть даже и счётного, можно много чего доказать, ту же счётность множества рациональных чисел, например.

-- Пт 18.9.2009 21:35:46 --

Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):
Вот такое утверждение: "если существует сюрьекция $\mathbb{N}$ на $A$, то существует инъекция из $A$ в $\mathbb{N}$" --- оно доказывается без аксиомы выбора или нет?
Доказывается без аксиомы выбора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность рациональных чисел.
Сообщение18.09.2009, 20:40 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
ewert в сообщении #244510 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):
И вот это "выберем" как раз использует аксиому выбора!!!

Счётную -- или безумно бессчётную?...


Счётную :)

-- Пт сен 18, 2009 23:42:38 --

RIP в сообщении #244513 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):
Вот такое утверждение: "если существует сюрьекция $\mathbb{N}$ на $A$, то существует инъекция из $A$ в $\mathbb{N}$" --- оно доказывается без аксиомы выбора или нет?
Доказывается без аксиомы выбора.


Типа если $g : \mathbb{N} \to A$ --- сюрьекция, то $f : a \mapsto \min \{ n : g(n) = a \}$ --- требуемая инъекция? Вроде да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность рациональных чисел.
Сообщение18.09.2009, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Профессор Снэйп в сообщении #244506 писал(а):
Вот такое утверждение: "если существует сюрьекция $\mathbb{N}$ на $A$, то существует инъекция из $A$ в $\mathbb{N}$" --- оно доказывается без аксиомы выбора или нет?


Доказывается.
К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970. Глава V, § 2, Теорема 1.
Обратите внимание также на Теорему 7 (об объединении множеств значений счётного множества последовательностей), которая похожа на теорему о счётности объединения счётного множества счётных множеств (там же - Теорема 8), но доказывается без аксиомы выбора.

ewert в сообщении #244498 писал(а):
Естественно, без счётной аксиомы ничего не получится -- без неё вообще ничего толкового и никогда не получится. Но это ещё не основание для того, чтоб жульнически приплетать какие-то расширенные версии.


ewert, я как-то не ожидал, что Вы будете воевать с ветряными мельницами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group