Приоткрываем завесу над гипотезой Биля

[temp03]

Напомню, что гипотеза Биля утверждает, что никакое уравнение $x^n+y^k=z^t$ невозможно в целых числах, при взаимно простых $x, y, z$ и $n, k, t > 2$.

Теорема: каждый множитель $m$ билевой формы $x^n+y^k$ является делителем меньшей формы $x^py^q\pm1$,
где $p=n-((m-1)\mod n)$
$q=(n-k)\left\{\dfrac{m}{n}+1\right\}-p$ (в фигурных скобочках указана целая часть числа).
$(p+q)\div(n-k)$
$n>k$.

Примеры:
$(7^{11}+6^7)\div43\to(7^26^{14}-1)\div43, 2=11-(42\mod11),$ $14=(11-7)\left\{\dfrac{43}{11}+1\right\}-2$
$(6^5+11^4)\div29\to(6^211^4-1)\div29, 2=5-(28\mod5),$$4=(5-4)\left\{\dfrac{29}{5}+1\right\}-2$
и так далее.


Из этой теоремы следует, что любая билева форма $x^n+y^k$ может быть представлена:
$x^n+y^k=\dfrac{\prod\limits_{i\leq k}{(x^{p_i}y^{q_i}\pm1)}}{K}$

Где $(p_i+q_i)\div(n-k)$, $n>k$


-- Пт авг 07, 2009 21:18:08 --


Также билевы формы $x^n+y^k$ являются частным случаем полиномов с коэффициентом $x^k+py^k$.
Действительно, возьмем любую билеву форму $x^n+y^k$, у которой $n>k$. Тогда ее можно представить:
$x^n+y^k=x^{n-k}x^k+y^k$. Обозначив $x^{n-k}=p$, получим:
$x^n+y^k=px^k+y^k$.
Учитывая, что все множители полиномов с коэффициентов $x^n+py^n$ являются делителями некоторых форм:
$x\pm p^ty$
$p^tx\pm y$
то каждый множитель $m$ билевой формы $x^n+y^k$ является делителем одной из форм:
$x^uy\pm1$
$x^{u+1}\pm y$,
где $u<\dfrac{m}{2}$

-- Пт авг 07, 2009 23:32:34 --

Еще одно замечание:
Если $k<n$ - четно, то каждый множитель билевой формы $x^n+y^k$ является делителем некоторой формы:
$y^p\pm1$,
где $p<(n-k)\dfrac{(m-1)}{2}$
Другими словами, любая билева форма $x^n+y^k$, где $k<n$ - четно, может быть представлена:
$x^n+y^k=\dfrac{\prod\limits_{i\leq k}{(y^{p_i}\pm1)}}{M}$

[goldbash]

temp03 в сообщении #233582 писал(а):

Также билевы формы $x^n+y^k$ являются частным случаем полиномов с коэффициентом $x^k+py^k$.

Ну тогда эту гипотезу можно так переписать:

$x^n x^p + y^n y^q = z^n$, или
$x^p( x^n + y^n y^r) = z^n$
при $(x, y, z) = 1$

[Коровьев]

temp03 в сообщении #233582 писал(а):

Учитывая, что все множители полиномов с коэффициентов $x^n+py^n$ являются делителями некоторых форм:
$x\pm p^ty$
$p^tx\pm y$

О! Мат реинкарнировался! А несусветную чушь несёт старую. Вам ещё в той жизни тыкали показывали численными контрпримерами.
Можно ещё
$3^3+2\cdot 4^3=5\cdot 31$
Но
$31 \ne 3\pm2^k4$
или
$31 \ne 2^k3\pm4$
ни при каких k
Для 5 предлагаю проверить самостоятельно, в порядке закрепления материала.
И потом, теоремами называются доказанные вещи, в противном случае это называется гипотезой, даже если она бредее бреда.

[temp03]

Коровьев
Чтобы не повторяться, ответ см.здесь.

[KORIOLA]

Уважаемые господа!
На сайте ссылка удалена вы найдете доказательство того, что гипотеза Биля не имеет решения в натуральных числах, если эти числа взаимно простые, и имеет решение в натуральных числах, если эти числа имеют общий простой множитель ( в формулировке гипотезы Биля, приведенной в ВИКИПЕДИИ).
Посетите также сайт ссылка удалена. На нем вы найдете другие интересные материалы и сможете вступить со мной в конструктивный диалог.
Желаю успехов KORIOLA

Строгое предупреждение за использование красного цвета и саморекламу.

[KORIOLA]

Интересующимся гипотезой Биля
Уважаемые господа,
гипотеза Биля в формулировке ее, изложенной в ВИКИПЕДИИ, имеет решение в целых положительных числах, если эти числа имеют общий простой множитель.
Привожу примеры:
$13^5 + 91^3 + 104^3;$ 13 - общий простой множитель;
$7^22 +4802^5 = 50421^4;$ (здесь первое слагаемое 7 в степени 22);7 -общий простой множитель;
$4243686^3 + 121945^4 =29^14;$(здесь сумма 29 в степени 14); 29-общий простой множитель.
Всем успехов KORIOLA

-- Чт сен 03, 2009 12:30:36 --

Извините за ошибку!
Правильная запись первого примера:
$13^5+ 91^3 = 104^3$
KORIOLA

[age]

KORIOLA в сообщении #240030 писал(а):

Интересующимся гипотезой Биля
Уважаемые господа,
гипотеза Биля в формулировке ее, изложенной в ВИКИПЕДИИ, имеет решение в целых положительных числах, если эти числа имеют общий простой множитель.
Привожу примеры:
$13^5 + 91^3 + 104^3;$ 13 - общий простой множитель;
$7^22 +4802^5 = 50421^4;$ (здесь первое слагаемое 7 в степени 22);7 -общий простой множитель;
$4243686^3 + 121945^4 =29^14;$(здесь сумма 29 в степени 14); 29-общий простой множитель.
Всем успехов KORIOLA

-- Чт сен 03, 2009 12:30:36 --

Извините за ошибку!
Правильная запись первого примера:
$13^5+ 91^3 = 104^3$
KORIOLA

KORIOLA!
$4243686^3 + 121945^4 =29^14;$(здесь сумма 29 в степени 14) пишется $4243686^3 + 121945^4 =29^{14}$.
Сокращаем на $29^{12}$, получаем:
$6^3+5^4=29^2$ .
$13^5+ 91^3 = 104^3$ делится на $13^3$! Сокращаем на $13^3$ получаем:
$13^2+ 7^3 = 8^3$

KORIOLA в сообщении #240030 писал(а):

Интересующимся гипотезой Биля
Привожу примеры:
$13^5 + 91^3 + 104^3;$ 13 - общий простой множитель

Кстати, а в этой формулировке это какая-то более серьезная гипотеза?

[KORIOLA]

Ответ age
Вы правильно заметили, что числа A, B, C сокращаются на общий множитель. Но если в равенстве все слагаемые имеют общие множители, то они и должны сокращаться. Это не противоречит приведенной мною формулировке гипотезы Биля. А как получить те равенства, которые Вы получили после сокращения? Кстати, эти равенства для меня не были секретом, поэтому Вы для меня не сделали открытие.
KORIOLA

[KORIOLA]

Информация для age.
Уравнение гипотезы Биля в виде:
$(mA)^x + (mB)^y = (mC)^z,$хотя числа и содержат общий
сомножитель m, как это указано в ВИКИПЕДИИ, не имеет решения в целых положительных числах. Оно имеет решение только в том виде, который я приводил ранее в числовых примерах. Простота доказательства, конечно, смущает.
KORIOLA

[bot]

Меня смущает не простота доказательства, а бестолковость Вашей формулировки. Лучше бы просто ссылку привели.
Впрочем и в этом нет необходимости - здесь все уже слышале о гипотезе Биля, широко известного в узких кругах финансистов.

[Батороев]

Гипотеза Биля на Википедии.
Похоже, что KORIOLA не совсем верно уловил суть формулировки в Википедии.
Как мне видится, там говорится о том, что если соблюдается равенство:
$A^x+B^y=C^z$, ($x, y, z >2$), то в обязательном порядке у всех трех положительных целых чисел $A, B, C$ должен быть общий простой множитель.
Т.е. для того, чтобы доказать гипотезу Биля, необходимо доказать, что в отсутствие такого множителя равенство невозможно, а опровергнуть - приведя хотя бы один контр-пример с взаимнопростыми $A, B, C$.

[shwedka]

KORIOLA в сообщении #244021 писал(а):

Оно имеет решение только в том виде, который я приводил ранее в числовых примерах.

Не доказано, что 'только'.

[KORIOLA]

bot-y
"Бестолковая формулировка" не моя - она приведена в ВИКИПЕДИИ.
Поиск очень простой: Google - гипотеза Биля. ВИКИПЕДИЯ - Поиск.
А можете просто нажать кнопку в сообщении Ботороева: Гипотеза Биля на ВИКИПЕДИИ.
KORIOLA


____________________________________________________________
Не ешьте арбузы на ночь - вдруг Вы в закрытом помещении, кругом люди,
а туалета нет.

[bot]

Я уже говорил, что в ссылке не нуждаюсь и не я один, просто потому что знаком с гипотезой, но о Биле узнал только здесь. В математике, как и в других науках бродит целая прорва фольклорных гипотез, многие из них приходят в голову одновременно многим - просто сами напрашиваются в связи с некоторыми утверждениями (доказанными или нет). Вот эта к примеру напрашивается из утверждения, которое привожу в частном виде:

Если хотя бы одно из чисел $m,\ n,\ k$ взаимно просто с двумя другими, то уравнение $x^m+y^n=z^k$ имеет решение в натуральных числах.

Доказательство несложное - искомое решение строится и построенные $x,\ y,\ z\ $ по предлагаемому доказательством способу имеют общий множитель ...

(!) Хм, говорит, прочитавший доказательство или сам его нашедший, лю-бо-пыт-но ... а всегда ли это так? ... а не сформулировать ли мне гипотезу? ... нет, надо сначала повозиться - вдруг сразу получится? ... (повозившись достаточно долго) да ну-у-у её нафиг - сама задачка похоже гробовая, а формулирвка на поверхности - всякому в голову придёт, кто доказательство прочитает.
Но вот появляется финансист Биль со своей премией и целая армия любителей бросается на штурм гипотезы, не имея возможности оценить ни её сложности ни её важности, то есть не имея никакой удовлетворительной мотивировки, за исключением призрачной надежды разбогатеть или удовлетворить своё тщеславие.

Искателям славы рекомендую - бросьте вы эту гипотезу Биля, почитайте лучше популярные книжки - в них можно найти много любопытных эмпирических фактов, безымянных до сих пор. Становитесь финансистом и назначайте премию - это самый простой и самый надёжный способ прославиться.

Что касается формулировки, то со сравнением меня уже опередил Батороев.

KORIOLA Вы хотя бы разницу-то видите?
В вики она, правда, избыточна - простота общего множителя очевидно не нужна, а вот Вашу из неё можно получить разве что по испорченному телефону - игра детская когда-то была, может быть и сейчас есть.

[age]

temp03 в сообщении #233582 писал(а):

каждый множитель $m$ билевой формы $x^n+y^k$ является делителем меньшей формы $x^py^q\pm1$

Отсюда должна следовать гипотеза Каталана:
$x^n-y^k\neq1$,
т.к. все множители формы слева должны получаться делителями некоторых $x^py^q\pm1$.

-- Вс янв 17, 2010 13:31:08 --

Обобщение гипотезы Каталана:
Уравнение $a_1^n-a_2^m-...-a_k^p=1$ разрешимо в целых числах если хотя бы одно из $n,m,...,p\leq2k-2$ - если $k$-четно. И $n,m,...,p\leq2k-3$ - если $k$ нечетно.

Т.е. по идее, уравнение $x^4-y^n-z^m=1$ должно иметь решения при $n,m\geq4$.