2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл из "Механики" ЛЛ
Сообщение17.09.2009, 15:43 


03/10/08
47
Там получается, что интегрирование $$\phi=\int\limits_r^\infty\frac{\rho \frac{dr}{r^2}}{\sqrt{1-\frac{\rho^2}{r^2}-\frac{2\alpha}{mV^{2}r}}}$$ дает $$\phi=\arccos\left(\frac{\frac{\alpha}{mV^{2}\rho}}{\sqrt{1+(\frac{\alpha}{mV^2\rho})^2}}\right)$$
Поскольку слышал, что прежде чем требовать помощи, нужно изложить свои попытки решения, то привожу их:
Интеграл сводится путем замены $t=1/r$ к интегралу типа $$ \int \frac{dt}{\sqrt{-t^{2}-t+1}}$$ Интегралы такого типа решаются по схеме $$at^{2}+bt+c=a(t+b/2a)^{2}+c/a-b^{2}/4a^{2}$$ замена $t+b/2=h,  dh=dt$ В итоге должно получиться выражение под натуральным логарифмом, т.е. совсем не так как у ЛЛ. У них решение выглядит так, будто бы интеграл сводится к табличному $\int \frac{dt}{\sqrt{a^{2}-t^2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл из "Механики" ЛЛ
Сообщение17.09.2009, 15:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lopuxov в сообщении #244123 писал(а):
У них решение выглядит так, будто бы интеграл сводится к табличному $\int \frac{dt}{\sqrt{a^{2}-t^2}}$

А он ровно и сводится -- после выделения полного квадрата типа $t+{1\over2}=y$ получается корень из типа $\sqrt{A-y^2}$. Правда, они зачем-то написали арккосинус, хотя обычно предпочитают арксинус, но это -- деле вкуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл из "Механики" ЛЛ
Сообщение17.09.2009, 17:05 


03/10/08
47
Действительно так. Да и сама эта "схема" $$at^{2}+bt+c=a(t+b/2a)^{2}+c/a-b^{2}/4a^{2}$$ при замене $t+b/2a=y$ есть не что иное, как "корень из типа $\sqrt{A-y^2}$".
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл из "Механики" ЛЛ
Сообщение17.09.2009, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
lopuxov в сообщении #244123 писал(а):
В итоге должно получиться выражение под натуральным логарифмом

Логарифмы и обратные тригонометрические функции - близнецы-братья, то или иное всплывёт, заранее сказать нельзя, и зависит от знаков величин под корнем. Поэтому многие табличные интегралы записываются и в том и в другом варианте. Почему они братья - понятно при переходе к комплексной переменной, где логарифм есть способ записи обратной гиперболической функции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group