Интеграл из "Механики" ЛЛ

[lopuxov]

Там получается, что интегрирование

$$\phi=\int\limits_r^\infty\frac{\rho \frac{dr}{r^2}}{\sqrt{1-\frac{\rho^2}{r^2}-\frac{2\alpha}{mV^{2}r}}}$$

дает

$$\phi=\arccos\left(\frac{\frac{\alpha}{mV^{2}\rho}}{\sqrt{1+(\frac{\alpha}{mV^2\rho})^2}}\right)$$

Поскольку слышал, что прежде чем требовать помощи, нужно изложить свои попытки решения, то привожу их:
Интеграл сводится путем замены $t=1/r$ к интегралу типа

$$ \int \frac{dt}{\sqrt{-t^{2}-t+1}}$$

Интегралы такого типа решаются по схеме

$$at^{2}+bt+c=a(t+b/2a)^{2}+c/a-b^{2}/4a^{2}$$

замена $t+b/2=h, dh=dt$ В итоге должно получиться выражение под натуральным логарифмом, т.е. совсем не так как у ЛЛ. У них решение выглядит так, будто бы интеграл сводится к табличному $\int \frac{dt}{\sqrt{a^{2}-t^2}}$

[ewert]

lopuxov в сообщении #244123 писал(а):

У них решение выглядит так, будто бы интеграл сводится к табличному $\int \frac{dt}{\sqrt{a^{2}-t^2}}$

А он ровно и сводится -- после выделения полного квадрата типа $t+{1\over2}=y$ получается корень из типа $\sqrt{A-y^2}$. Правда, они зачем-то написали арккосинус, хотя обычно предпочитают арксинус, но это -- деле вкуса.

[lopuxov]

Действительно так. Да и сама эта "схема"

$$at^{2}+bt+c=a(t+b/2a)^{2}+c/a-b^{2}/4a^{2}$$

при замене $t+b/2a=y$ есть не что иное, как "корень из типа $\sqrt{A-y^2}$".
Спасибо.

[Munin]

lopuxov в сообщении #244123 писал(а):

В итоге должно получиться выражение под натуральным логарифмом

Логарифмы и обратные тригонометрические функции - близнецы-братья, то или иное всплывёт, заранее сказать нельзя, и зависит от знаков величин под корнем. Поэтому многие табличные интегралы записываются и в том и в другом варианте. Почему они братья - понятно при переходе к комплексной переменной, где логарифм есть способ записи обратной гиперболической функции.