natalya_1Поэтому путь неравенств и интервалов лучше оставьте. Там ловить нечего.
Проверять не буду, предоставлю эту возможность другим.
Но я не шла путем неравенств и интервалов.
Обращаюсь к другим участникам форума: пожалуйста, посмотрите доказательство.
Здравствуйте, уважаемые форумчане! Представляю на Ваш суд свою попытку доказательства БТФ. Буду благодарна за критику.
Доказательство буду выкладывать по частям . Положения, помеченные *** требуют отдельных доказательств , они достаточно простые, поэтому я не стала их здесь приводить, чтобы не перегружать сильно сообщение. Если нужно, я их выложу. Прошу так же извинить меня за то, что не смогла там, где надо, показать системы уравнений, не получилось набрать.
Итак, Ферма утверждал, что уравнение
не имеет целочисленных решений при
. Попробуем доказать обратное.
1.1. Предположим, что такое решение существует, при
,
,
,
, где
,
,
- целые положительные взаимнопростые числа,
, пусть
,
- целое число >2.
Тогда
.
1.2.
, где
- целое положительное число.***
, где
-целое положительное число.***
1.3.
,
Перемножаем левые и правые части, получаем:
,
,
,
,
.***
1.4.
,
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
, следовательно,
.
Левая часть равенства представляет собой значение функции
при
, а правая - при
, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при
и
равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть
,
, тогда
,
, (
,
,
(п.1.3)), следовательно,
1.6. Исследуем функцию
.
,
,
-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
.
или
,
,
Так как на сегменте
существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Итак,
Преобразуем выражение, получаем:
. Числитель правой части делится на
, знаменатель- на
. Поскольку
, то
, где
- общий делитель
и
***
2.2.Следовательно, необходимо сократить числитель на
.
и
сокращаются на
между собой ***, поэтому дальнейшее сокращение будет невозможным.
и
сокращаются на
,
сокращается на
.
не сокращается, т.к.
и
-взаимно простые числа.
Следовательно, сократить числитель на
невозможно. Аналогично с сокращением знаменателя.
Следовательно,
и
могут быть равны только
, а это невозможно, т.к.