Функциональный анализ.

[maxmatem]

Какую геомерическую интерпритацию имеет $Z^{3}$ (декартова степень мн-ва целых чисел. в данном примере степень 3) Оно же счётно? но как занумеровать все его элементы?

[Профессор Снэйп]

При чём здесь, блин, функциональный анализ???

Имеем $\mathbb{N} = \{ 0,1,2, \ldots \}$. Теперь

$$ c(x,y) = \frac{(x+y)^2 + 3x+y}{2} $$

биекция $\mathbb{N}^2$ на $\mathbb{N}$. Далее, $d(x,y,z) = c(c(x,y),z)$ есть биекция $\mathbb{N}^3$ на $\mathbb{N}$. Раз биекция, то существует тройка функций $d_1$, $d_2$, $d_3$ из $\mathbb{N}$ в $\mathbb{N}$, такая что $d(d_1(n), d_2(n), d_3(n)) = n$ при всех $n \in \mathbb{N}$. Далее,

$$ f(x) = \begin{cases} k, & x=2k \\ -(k+1), &x = 2k+1 \end{cases} $$

есть биекция $\mathbb{N}$ на $\mathbb{Z}$. Наконец, функция

$$ n \mapsto \langle f(d_1(n)), f(d_2(n)), f(d_3(n)) \rangle $$

--- это как раз то, что Вам требуется.

[maxmatem]

да при том! нам это задание именно на нем задали!
а какова геометрическая интерпритация?

[Профессор Снэйп]

maxmatem в сообщении #243888 писал(а):

да при том! нам это задание именно на нем задали!

И что теперь? Вопрос о том, как правильно пишется словосочетание "геометрическая интерпретация" тоже относится к функциональному анализу? Эх, не доучили Вы в школе функан, не доучили

У меня почему-то такое впечатление, что топикстартер решил просто перекорябать формулки к себе в тетрадь, а на семинаре написать их на доске с умным видом, ничерта в них не разобравшись. А это очень-очень плохо.

Не буду больше ничего ему писать!!!

[maxmatem]

вы меня те так поняли! я совершенно не собирался эаниматься тем что вы там описали! просто если рассмотреть $N^{2}$ то мне совершенно ясно как это выглядит с геометрической точки зрения, но с $Z^{2}$ уже возникают трудности! и переписать в терадь и выпендриться у доски, не моё кредо!!!
может объясните про $Z^{2}$ ?

[Профессор Снэйп]

Что именно Вам про $\mathbb{Z}^2$ объяснить?

-- Ср сен 16, 2009 21:47:26 --

Возьмите лист клетчатой бумаги и начните заполнять клеточки натуральными числами, согласно моим формулам либо как-то ещё. Затем, заполнив достаточно большую часть листа, посмотрите на то, что получилось и придумайте "геометрическую интерпретацию".

[maxmatem]

Я хочу док-ть что $Z^{2}$-счётное! док-во хотел провести несколько геометрическое, как в случаи $N^{2}$, где я показал как оно устроено и нумеровал его след. образом: я вычеркивал элементы по диагонали т.о были занумерованы все эл-ты $N^{2}$ но как выглядит $Z^{2}$?
то что это мн-во всевозможных пар целых чисел я понял!

[ewert]

maxmatem в сообщении #243898 писал(а):

Я хочу док-ть что $Z^{2}$-счётное! док-во хотел провести несколько геометрическое, как в случаи $N^{2}$, где я показал как оно устроено и нумеровал его след. образом: я вычеркивал элементы по диагонали т.о были занумерованы все эл-ты $N^{2}$ но как выглядит $Z^{2}$?
то что это мн-во всевозможных пар целых чисел я понял!

Если вы собрались нумеровать именно по диагоналям (что, кстати, вовсе не обязательно), то разница между натуральными и целыми числами только в одном: в первом случае раздуваются треугольнички, а во втором -- соотв. ромбики. Но вообще-то геометричность тут -- не пришей кобыле хвост.

[maxmatem]

а где можно посмотреть как выглядит $Z^{2}$, а то я чего-то затрудняюсь его изобразить?

[Профессор Снэйп]

maxmatem в сообщении #243900 писал(а):

а где можно посмотреть как выглядит $Z^{2}$, а то я чего-то затрудняюсь его изобразить?

Хит сезона, однако

Как лист клетчатой бумаги, в середине каждой клеточки стоит жирная точка.

-- Ср сен 16, 2009 22:10:48 --

ewert в сообщении #243899 писал(а):

Но вообще-то геометричность тут -- не пришей кобыле хвост.

Плюс адын!

[maxmatem]

ладно,как выглядит $Z^{2}$ я кажется понял, но как их занумеровать?

[gris]

Пока профессора нет, я вам подскажу сразу по $Z^3$. Геометрическая интерпретация это просто точки с целочисленными координатами в трёхмерной системе координат. Этакая кристаллическая решётка. А занумеровать эти точки проще простого. Точке $(0;0;0)$ присваиваем номер 1. Потом мысленно строим кубик с длиной ребра 3,5 и центром в начале координат. В нём 27 целочисленных точек. Из них 26 новых. Нумеруем их как угодно. Их же конечное множество.
Далее расширяем кубик на 1 единичку во все стороны. Получается размер ребра 5,5. Добавляется 125-27= 98 точек. Нумеруем их в любом порядке числами от 28 до 125. Ну и так далее. Увеличивая ребро кубика на 2, мы добавляем каждый раз конечное число целочисленных точек, которые находятся внутри него. И которые мы можем занумеровать в произвольном порядке. Аксиома выбора тут не при чём. Вот так мы занумеруем все точки, а значит и все элементы $Z^3$

Но можно описать и алгоритм нумерации, этакую змейку. Но это уж сами.

[maxmatem]

Gris!спасибо вам большое! почему длина ребра 3,5?

[gris]

А вот как занумеровать клетки плоскости

$$\begin {array}{cccc} 10&11&12&13 \\ 9&2&3&14 \\ 8&1&4&15 \\ 7&6&5&16 \\ ...&19&18&17 \end {array}$$

-- Ср сен 16, 2009 22:39:19 --

Длина ребра 3,5? Ну возьмите 3. Чтобы его грани не проходили по точкам.
Это не существенно. Можно взять сферу радиусом 3 и на каждом шаге раздувать её в два раза. Главное, что каждые раз добавляется конечное число точек, лежащих внутри сферы, и что любая точка пространства рано или поздно окажется там и будет посчитана.

[maxmatem]

на счёт занумирования $Z^{2}$ я понял! очень жаль что сам не додумался...Кстати на счёт сферы! значит сферу можно интерпритировать как модель $N^{3}$, но как тогда в ней нумеровать точки? внутри сферы бесконечное число точек?радиус имеет значение? извиняюсь что так много вопросов, просто хочется разобраться!