Попытка доказательства Теоремы Ферма

[natalya_1]

Здравствуйте, уважаемые форумчане! Представляю на Ваш суд свою попытку доказательства БТФ. Буду благодарна за критику.
Доказательство буду выкладывать по частям . Положения, помеченные *** требуют отдельных доказательств , они достаточно простые, поэтому я не стала их здесь приводить, чтобы не перегружать сильно сообщение. Если нужно, я их выложу. Прошу так же извинить меня за то, что не смогла там, где надо, показать системы уравнений, не получилось набрать.

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^n+y^n=z^n$ не имеет целочисленных решений при $n>2$. Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, $n=m$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимнопростые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,$m$- целое число >2.
Тогда $a^m+b^m=c^m$.

1.2. $a+b=c=d$, где$d$ - целое положительное число.***
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.***
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***
1.4. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^m+b^m=c^m$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^ma(ad-p)+c^mb(bd-p)=a^mc(cd-p)+b^mc(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^m-c^{m-1}da^2+c^{m-1}pa=-((cd-p)b^m-c^{m-1}db^2+c^{m-1}pa)$ .
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^m-c^{m-1}dx^2+c^{m-1}px$ при $x=a$, а правая - при $x=b$, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при $x=a$ и$x=b$ равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках $a$и$b$ принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть $(cd-p)a^m-c^{m-1}da^2+c^{m-1}pa=0$, $(cd-p)b^m-c^{m-1}db^2+c^{m-1}pb=0$, тогда $a^{m-1}(cd-p)=c^{m-1}(ad-p)$,$b^{m-1}(cd-p)=c^{m-1}(bd-p) $, ($ad-p>o$, $bd-p>0$,$cd-p>o$ (п.1.3)), следовательно, $\frac{a^{m-1}}{ad-p}}=\frac{b^{m-1}}{bd-p}}=\frac{c^{m-1}}{cd-p}$
1.6. Исследуем функцию $y=\frac{x^{m-1}}{xd-p}}$ .
$y'=\frac{(m-1)x^{m-2}(xd-p)-dx^{m-1}}{(xd-p)^2}$,$xd-p\not=o$, $\frac{p}{d}$-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
$y'=0$ $(m-1)x^{m-2}(xd-p)-x^{m-1}d=0$. $x=0$ или$(m-1)(xd-p)-xd=0$, $(m-1)xd=(m-1)p$,
$x=\frac{(m-1)p}{(m-2)d}$
Так как на сегменте $]0;c]$ существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция $y=(cd-p)x^m-c^{m-1}dx^2+c^{m-1}px $ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$.Следовательно, между точками $a$ и $b$ найдется такая точка ( назовем ее $h$), что значение функции в этой точке будет равно $0$.
$(cd-p)h^m-c^{m-1}dh^2+c^{m-1}ph=0 $ $c\not=0$ $h\not=0$, т.к.$b<h<a$. Следовательно,

2.2.$\frac{c^{m-1}}{cd-p}}=\frac{h^{m-1}}{hd-p}} $, $hd-p>0$, тк. $h>b$ Тогда
2.3. $c^{m-1}hd-c^{m-1}p=h^{m-1}cd-h^{m-1}p$,$cd(c^{m-2}h-h^{m-1})=p(c^{m-2}h-h^{m-1})$,$\frac{cd}{p}=\frac{c^{m-1}-h^{m-1}}{c^{m-2}h-h^{m-1}}$
Дале следует доказательство рациональности числа $h$, которое я выложу в следующем посте.

[venco]

Пока всё правильно, за исключением нескольких опечаток.
Давайте продолжение.

[migmit]

Есть такой вид "доказательств" теоремы Ферма - "доказательства с продолжениями". Такое "доказательство" состоит из последовательности поочерёдно выкладываемых кусков, в каждом из которых содержится обещание вскоре выложить следующий. На каком-то этапе очередной кусок не выкладывается - автор или теряет интерес, или на что-то обижается.

Just making an observation.

[dmd]

Можно сначала доказательство этого:

natalya_1 в сообщении #243535 писал(а):

$ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***

[natalya_1]

dmd в сообщении #243552 писал(а):

Можно сначала доказательство этого:

natalya_1 в сообщении #243535 писал(а):

$ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***

да, пожалуйста.
$bd-p=b(a+b-c) -(a^2+b^2-c^2)=ba+b^2-cb-a^2-b^2+c^2=(c-a)(c+a)-b(c-a)=(c-a)(c+a-b)$
$c-a>0$, $c+a-b>0$ , следовательно, $bd-p>0$.
$a>b$,$c>b$, следовательно,$ad-p>0$,$cd-p>0$

[age]

Умничка! (за попытку). Хотя не знаю, чем она закончится.

[venco]

age в сообщении #243688 писал(а):

Умничка! (за попытку).

Мне тоже понравилось.

[natalya_1]

Продолжаю.

3.1. $\frac{cd}{p}=\frac{c^{m-1}-h^{m-1}}{c^{m-2}h-h^{m-1}}=1+\frac{c^{m-1}-c^{m-2}h}{c^{m-2}h-h^{m-1}}$, отсюда
$\frac{cd-p}{p}}=\frac{c^{m-2}(c-h)}{c^{m-2}h-h^{m-1}}$, следовательно, $\frac{c^{m-2}h-h^{m-1}}{c-h}}$ - рациональное число. Отсюда следует, что при $m=3$ $h$-рациональное число

3.2.При $m>3$, $\frac{c^{m-2}h-h^{m-1}}{c-h}=c^{m-3}h+c^{m-4}h^2+...+h^{m-2}$ (рациональный многочлен), отсюда $h^{m-2}$-рациональное число.
3.3. $\frac{c^{m-2}h-h^{m-1}}{c-h}}$-рациональное число(п.3.1)
$h^{m-2}$-рациональное число (п.3.2), следовательно $\frac{c-h}{h}}$ -рациональное число,$\frac{c}{h}$-рациональное число, $h$-рациональное число


4.1. Пусть $\frac{c}{h}=\frac{q}{l}$, где$q$и$l$-целые положительные числа. Тогда
4.2.$\frac{c^{m-1}-h^{m-1}}{c^{m-2}h-h^{m-1}}=\frac{(c^{m-1}q^{m-1}-c^{m-1}l^{m-1})q^{m-1}}{q^{m-1}(c^{m-1}lq^{m-2}-c^{m-1}l^{m-1})}=\frac{q^{m-1}-l^{m-1}}{q^{m-2}l-l^{m-1}}$. Тогда
$\frac{cd}{p}=1+\frac{q^{m-2}(q-l)}{q^{m-2}l-l^{m-1}}$ ,следовательно
$\frac{cd-p}{p}=\frac{q^{m-2}(q-l)}{q^{m-2}l-l^{m-1}}$, $\frac{cd-p}{v}=q^{m-2}$, где $v$ - общий делитель $cd-p$и$p$.

Если в этой части доказательства не обнаружится ошибка, то я выложу последнюю часть доказательства, где доказываю невозможность разложения $\frac{cd-p}{v}$ на множители так, чтобы $\frac{cd-p}{v}$ представить в виде целого числа в нечетной степени. ( и еще один частный случай).

Для $n=3$ доказательство отдельное.

[venco]

3.2. Непонятно, как вы получили, что $h^{m-2}$ - рациональное.

[migmit]

Уже в 3.1 непонятно, с чего $h$ должно быть рациональным.

[venco]

Подставьте $m=3$, там многое сокращается.
А вот уже при $m=4$ получается квадратное уравнение, которое не обязано иметь рациональные корни.

[migmit]

Подставил, получил квадратное уравнение относительно $h$: $\frac{h-h^2}{c-h}=u$, где $u$ - рациональное число. Решение - вообще говоря, квадратичная иррациональность.

[venco]

migmit в сообщении #243757 писал(а):

Подставил, получил квадратное уравнение относительно $h$: $\frac{h-h^2}{c-h}=u$, где $u$ - рациональное число. Решение - вообще говоря, квадратичная иррациональность.

Плохо подставили. $c-h$ должно сократиться, причём при любых $m$.

[migmit]

Вы правы.

[natalya_1]

venco в сообщении #243704 писал(а):

3.2. Непонятно, как вы получили, что $h^{m-2}$ - рациональное.

Я рассматривала уравнение $hx^{m-3}+h^{2}x^{m-4}+...+ (h^{m-2}- \frac {c^{m-2}p}{cd-p})}=0 $ c целым корнем $c$.
Исходила из того, что для того, чтобы у уравнения был целый корень, необходимо, чтобы свободный член и коэффициэнты были рациональными.