Задача по теории делимости!(школьная)

[gris]

Как узнать при каких $n$ она сократима?
То есть, у числителя и заменателя есть общие делители.
Вы не ошиблись в написании дроби? Там не степени?

[maxmatem]

степеней нет! если сократима то на сколько?

[gris]

Ну при $n=2;3;4;5;7;8$ несократима, а при $n=1;6;$ сократима на 5. Уже подсказка.

[maxmatem]

пока подсказку не вижу!

[gris]

На 2 сократиться не может, так как сверху и снизу числа разной чётности. Ну опять же, можно выписать несколько дробей и посмотреть, а можно обратить внимание, что в числителе сумма $2+3=5$ и в знаменателе $4+1=5$
А значит мы можем подставить $n=5k+1$

Но это не означает, что при других $n$ дробь не сократима.

[maxmatem]

почему именно $5k+1$ как вы такой вывод сделали?

[gris]

Вы не любите сравнения по модулю.
Тогда с остатками. Если число n при делении на 5 даёт остаток 1, то $3n$ остаток 3, а $3n+2$ остаток 5, то есть делится на 5. Ну аналогично и со знаменателем.

[maxmatem]

так сократима она при $n=5k+1$ ?
я так вас понял? Если рассмотреть знаменатель $4n+1$ ,n делится на 5 и имеет остаток 1, то 4n остаток 4, 4n+1 остаток 5 т.е он тоже делится на 5, а почему мы не рассматриваем остатки, 0,2,3,4, ?

[gris]

А теперь рассмотрим $n=km+r$, где $r$ остаток от деления на $m$. Подставим и получим, что $r$ может равняться только 1, тогда $m=5$

-- Пн сен 14, 2009 00:34:14 --

Когда решаете задачу и не знаете метода, то начинайте с простого и постепенно обобщайте.

[maxmatem]

извините за тупой вопрос,куда подставим?

[Алексей К.]

maxmatem в сообщении #243195 писал(а):

gris! а не подскажите как узнать сократима ли дробь $(3n+2)/(4n+1)$
можно ли ч/з цепные дроби?

Ну подставьте же $n=5k+1$ в свою дробь (тоже бумага-ручка)! Ну и расскажите людям, что получилось!

Кстати, если Вы напишете $\dfrac{3n+2}{4n+1}=...$, модератор уписяется от щастья. Да и Вам понравится.

[gris]

В дробь. И проверим, что дробь сокращается на $m$. Учитывая, что остаток меньше $m$, получим, что дробь может сокращаться только на 5 и только при найденных нами значениях $n$

[maxmatem]

Gris ! но не понял как вы получили что r=1 и тогда m=5 ?

[gris]

$\dfrac{3n+2}{4n+1}=\dfrac{15k+5}{20k+5}$

-- Пн сен 14, 2009 01:00:50 --

После того, как мы нашли частное решение с помощью остатков, попробуем обобщить этот метод.
Проверим, сократима ли наша дробь на $M$. Я выделю делитель для ясности.
Любое $n$ можно представить в виде $n=kM+r$, где остаток $0\leqslant r <M$

Подставим $n$ в числитель: $3n+2=3kM+3r+2$
Подставим $n$ в знаменатель: $4n+1=4kM+4r+1$

Чтобы дробь сократилась на $M$, надо чтобы и числитель, и знаменатель делились на $M$.
То есть и $3r+2$ и $4r+1$ были кратны $M$. Вроде бы то же самое, но нет. У нас $r$ маленькое.

[maxmatem]

я понял!!!