Решение уравнения Пелля

[KORIOLA]

Господа фермисты!
Имеет ли общее решение уравнение Пелля:
$X^2 + nY^2 = 1$?
KORIOLA

[Виктор Ширшов]

KORIOLA в сообщении #242378 писал(а):

Господа фермисты!
Имеет ли общее решение уравнение Пелля:

KORIOLA

А почему собственно только "фермисты". Имеет общее решение при $n>2$ $x_1,_2=\sqrt{n±1}$. $y_1,_2=\sqrt{n±2}$ , но для уравнения вида $x^2-ny^2=1$. Посмотрите topic20907.html, может быть, что-то найдёте для себя.

[Коровьев]

Уравнение
$x^2-dy^2=1$
при d отличном от квадрата имеет бесконечно много решений в целых числах.
*****
С этим уравнением связан известный исторический курьёз. Леонард Эйлер по ошибке приписал английскому математику Джону Пелльу общее решение этого уравнения. Но тот никогда этим уравнением не занимался. Правильнее было бы назвать его уравнением Ферма, повидимому, первому математику знавшему общее решение.

[Виктор Ширшов]

Виктор Ширшов в сообщении #242498 писал(а):

Имеет общее решение при $n>2$ $x_1,_2=\sqrt{n±1}$ $y_1,_2=\sqrt{n±2}$ , но для уравнения вида $x^2-ny^2=1$.

Пока gris не включился, исправляю ошибку. $x_1,_2=n±1$.

[KORIOLA]

Виктору Ширшову
Предлагаю Вашему вниманию свое общее решение уравнения Пелля
$X^2 -nY^2 =1,$не претендуя на лавры первооткрывателя.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ

$X^2-nY^2-1$ /1/
где число n не является квадратом числа.

Решим это уравнение, переписав его следующим образом:

$nY^2= X^2-1$ =(X-1)(X+1) /2/

При нечетных значениях числа X числа (X – 1) и (X + 1) четные. Следовательно, при нечетных значениях числа X уравнение /2/ в простейшем случае принимает вид:

$X^2 -1 = n(2K)^2$ /3/

где: $Y= (2K)^2;$
K= 1,2,3…
Следовательно, при нечетных значениях числа X уравнение /2/ имеет решение в общем виде как уравнение /3/. Приведем примеры.

Пример 1: $nY^2 - 1 =31^2 - 1 = 15[*]8^2;$ (n=15; Y=2∙4);

Пример 2:$nY^2 - 1 = 181^2 -1 = 910[*]6^2;$(n=910; Y=2∙3);

При четных значениях числа X числа (X – 1) и (X + 1) нечетные. Решение в общем виде имеет место, если одно из чисел (X – 1) или (X + 1) или оба числа равны:
$(X-1)=mZ^2; (X+1) =pV^2 $

Пример : X=28; X-1=28-1= 27= $3[*]3^2$; X+1=28+1= 29;
$nY^2 = X^2 - 1= 28^2 -1 =87[*]3^2$ (n=87; Y=3);

Следовательно, уравнение Пелля имеет решение в общем виде для всех нечетных чисел и для четных чисел, которые при добавлении к ним единицы (X + 1) или вычитании из них единицы (X – 1) превращаются в нечетные числа, содержащие множитель $R^2$ , где R =3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 … - простые или составные нечетные числа. Четные числа, удовлетворяющие этому условию, определяются по формулам:
$X= N[*]R^2 -1$
$X= N[*]R^2 +1$
где N – нечетное число.
Здесь [*] - означает точку (приношу извинения, но я еще полностью не разобрался с правилами набора формул). Если найдете опечатки, не злобствуйте, а подскажите. Дело не в них.
KORIOLA

[Виктор Ширшов]

KORIOLA в сообщении #242549 писал(а):

Виктору Ширшову
Предлагаю Вашему вниманию свое общее решение уравнения Пелля
не претендуя на лавры первооткрывателя.

А как Вам такое решение?
Заменим $ny^2$ на тождественное $n^2±2n$ и сократим. Получим $y^2= n±2$, а само уравнение Пелла приобретёт следующий вид: $x^2 - n(n±2)^2=1$ или $x^2=n^2±2n+1$. Откуда, $x^2=(n±1)^2$

-- Сб сен 12, 2009 19:53:56 --

Коровьев в сообщении #242539 писал(а):

Уравнение

при d отличном от квадрата имеет бесконечно много решений в целых числах.

Так оно и есть.

[Коровьев]

Ну, чисто дети.
Тогда найдите для меня вашими методоми хотя бы минимальное решение $(x_1,y_1)$ уравнения
$x^2-13y^2=1$
А уж все остальные я найду по формулам

$ x_n = \frac{{(x_1 + \sqrt {13} y_1 )^n + (x_1 - \sqrt {13} y_1 )^n }}{2} $
$ y_n = \frac{{(x_1 + \sqrt {13} y_1 )^n - (x_1 - \sqrt {13} y_1 )^n }}{{2\sqrt {13} }} $

[Виктор Ширшов]

Коровьев в сообщении #242795 писал(а):

Ну, чисто дети.
Тогда найдите для меня вашими методоми хотя бы минимальное решение уравнения
$x^2-13y^2=1$
А уж все остальные я найду по формулам

$x=12$ $y=\sqrt{11}$
Мой способ не позволяет найти минимальные значения $x$ и $y$, но зато им можно найти две другие пары, удовлетворяющие решению. Очевидно, $x=1$ и $y=0$ и есть общее решение уравнения Пелла. Потому что с этими значениями оно решается и с коэффициентом 13, как в вашем примере, 113, $a$, $d$, 1 или $n$.

[Батороев]

Коровьев в сообщении #242795 писал(а):

Ну, чисто дети.
Тогда найдите для меня вашими методоми хотя бы минимальное решение $(x_1,y_1)$ уравнения
$x^2-13y^2=1$
А уж все остальные я найду по формулам

$ x_n = \frac{{(x_1 + \sqrt {13} y_1 )^n + (x_1 - \sqrt {13} y_1 )^n }}{2} $
$ y_n = \frac{{(x_1 + \sqrt {13} y_1 )^n - (x_1 - \sqrt {13} y_1 )^n }}{{2\sqrt {13} }} $

Для нахождения решений в указанных формулах можно использовать и решения выражения $x^2-13y^2=-1$ (1) (с условием возведения в четные степени), т.е. минимальное решение $x^2-13y^2=1$ можно подсчитать по формулам, используя минимальное решение для (1): $ 18^2-13\cdot5^2=-1$, приняв $n=2$.

[KORIOLA]

Ширшову
Ваш приме запишем следующим образом:
$X^2-1= 13Y^2$
или: $(Y-1)(Y+1) =13Y^2$
Числа (X-1) и (X+1) должны иметь, например, такой вид:
$X-1= Z^k,$
$X+1 =13 Z^m.$
При этом число k+ m=t должно быть четным числом.
В этом случае $Y^2 = Z^t.$
В частном случае при k=3 и m=1 после преобразования получим кубическое уравнение:
$Z^3 - 13Z-2=0,$
которое не имеет решения в целых числах.
При других значениях чисел k и m уравнения будут более высокого порядка.
Попробуйте Вашим методом, а не методом подбора значения числа Y,
решаемые уравнения:
$X^2 - 910Y^2 =1;$
$X^2 - 7242Y^2 =1.$
И приведите здесь на форуме свое решение.
KORIOLA

[tolstopuz]

KORIOLA в сообщении #243584 писал(а):

Попробуйте Вашим методом, а не методом подбора значения числа Y,
решаемые уравнения:
$X^2 - 910Y^2 =1;$
$X^2 - 7242Y^2 =1.$
И приведите здесь на форуме свое решение.

Зачем такие большие числа? Лучше начать с чего-нибудь попроще:
$X^2 - 109Y^2 = 1$
$X^2 - 181Y^2 = 1$

[Виктор Ширшов]

KORIOLA в сообщении #243584 писал(а):

Ширшову
Ваш приме запишем следующим образом:
$X^2-1=13Y^2$
или: $(Y-1)(Y+1)=13Y^2$

Будьте внимательны. Во-первых, это пример Коровьёва. Во вторых, после "или" правильно разложить разность квадратов следовало так: $(X-1)(X+1)=13Y^2$

-- Вт сен 15, 2009 22:51:57 --

Батороев в сообщении #243573 писал(а):

Для нахождения решений в указанных формулах можно использовать и решения выражения (1) (с условием возведения в четные степени), т.е. минимальное решение можно подсчитать по формулам, используя минимальное решение для (1): , приняв .

Не следует относиться к формулам Коровьёва серьёзно. Они "выведены" путём подгонки под известные ему минимальные значения $x$ и $y$.

KORIOLA в сообщении #243584 писал(а):

Ширшову...
И приведите здесь на форуме свое решение.
KORIOLA

Не боясь получить предупреждение или бан за очередное простое решение, привожу.
Уравнение Пелла вида $x^2-ny^2=1$ фактически представляет собой разность квадратов, разнящихся на 1. Такое возможно только для случая $1^2-0^2$. Совершенно очевидно, а очевидно, как утверждает уверовавший в моё злокачественное невежество maxal только "то, что легко доказать, а не то, что трудно опровергнуть", что при заданном коээфициенте $n\ne0$, нулю будет равен $y$.
Другие две пары значений $x$ и $y$, если $y\ne0$, найти нетрудно, воспользовавшись приведённой заменой. Более того, этой же заменой можно решить в натуральных числах и уравнение, например, такого вида $x^2-ny^3=1$

[Батороев]

Виктор Ширшов в сообщении #243639 писал(а):

Батороев в сообщении #243573 писал(а):

Для нахождения решений в указанных формулах можно использовать и решения выражения (1) (с условием возведения в четные степени), т.е. минимальное решение можно подсчитать по формулам, используя минимальное решение для (1): , приняв .

Не следует относиться к формулам Коровьёва серьёзно. Они "выведены" путём подгонки под известные ему минимальные значения $x$ и $y$.

Решения подобных уравнений зачастую связаны между собой, поэтому уравнения, приведенные Коровьевым, очень даже хороши.
Суть моего же топика была показать, что для нахождения минимальных значений $x=649$, $y=180$ можно использовать меньшие решения другого уравнения.
В данном случае получается следующее:
Ищем минимальные решения уравнения $ x^2-13y^2=1$
$ 13y^2=x^2-1=(x+1)(x-1)$,
из которого видно, что число $13y^2$ должно раскладываться на 2 множителя, отличные друг от друга на 2.
Рассматривая возможные варианты, можно убедиться в том, что такие, как:
$ 13 - y^2=\pm 2$
$ 13y_1^2-y_2^2=\pm 2$, где $y=y_1\cdot y_2$,
не проходят (на основе анализа остатков по основанию 8).
Остается вариант $13y_3y_1^2-y_3y_2^2 = \pm 2$,
где $y=y_1\cdot y_2\cdot y_3 $.
$ y_3(13y_1^2-y_2^2)=\pm 2$,
откуда видно, что возможно только $y_3=2$.
Сократив на 2, получаем $13y_1^2-y_2^2=\pm 1$.
Уравнение $ 13y_1^2-y_2^2=-1$ по структуре эквивалентно исходному, следовательно, минимальные значений $y_1$ и $y_2$ мы там не найдем (т.к. ищем минимальные решения исходного).
Значит остается найти минимальные решения уравнения $13y_1^2-y_2^2=1$, которое эквивалентно уравнению $x^2-13y^2=-1$.
Из приведенных выкладок видно, что такие решения:
во-первых, существуют,
во-вторых, меньше искомых.

[KORIOLA]

Ширшову
Вы заметили опечатку. Спасибо, но это всего лишь опечатка. Всем это понятно, это не изменяет мое доказательство приведенного Вами примера. А то что Вы привели новые примеры без их доказательства, говорит о том, что методики решения уравнения Пелля в целых числах у Вас просто не существует. Да и условием решения уравнения Пелля не является нахождение чисел n. Условием решения этого уравнения, напоминаю, является решение его в целых числах с учетом того, что число n не должно быть равно числу $m^2.$ Вы просто подбрасываете "гайки". Жуйте, ребята!
KORIOLA

[KORIOLA]

Всем, кто интересуется уравнением Пелля
Ранее приведенное мною решение уравнения Пелля
$X^2 - nY^2 = 1$ - самое простое. Перепишем это уравнение как и положенно в алгебре:
$Y^2=\frac{X^2-1}{n}$, задаемся значением аргумента X так, как приведено в моем решении, и определяем значение фунции Y.
Числом n не задаемся - оно получается из решения.
В примерах, приведенных Ширшовым, числа 13, 109,181 - простые числа. Я знаю решения приведенного уравнения Пелля только для числа n=3
(X=7; Y=4; n=3) и для числа n=5 (X=9; Y=4; n=5). Не берусь утверждать наверняка, но, возможно, для других простых чисел n решения не существует. Все сомнения развеял бы господин Ширшов, если бы он привел хотя бы один пример. Но у него, видимо, таких примеров нет, поэтому он играет в "кошки-мышки". Да и методики решения тоже нет. А разговор по принципу "я знаю а вы нет, попробуйте найти" - беспредметный. Что-то здесь попахивает высокомерием человека, не уверенного в своей, возможно, существующей методике решения приведенного уравнения.
KORIOLA