Вопросы по функану

[terminator-II]

ShMaxG в сообщении #242638 писал(а):

Такая задача: Найти пополнение метрического пространства, состоящего из непрерывных финитных на числовой оси функций с метрикой

$\[ \rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\max }\limits_t \left| {x\left( t \right) - y\left( t \right)} \right| \]$.

пополнением является пространство непрерывных функций с условием $x(t)\to 0$ при $|t|\to\infty$

[ShMaxG]

terminator-II
Да я уже доказал, спасибо

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #228489 писал(а):

тем не менее если понятие "последовательность" должным образом обобщить, а именно от последовательностей перейти к направленостям...

А мне вот интересен следующий вопрос. Пусть $T$ --- произвольное топологическое пространство и $X \subseteq T$. Назовём точку $x_0 \in T$ ординальной точкой прикосновения множества $X$, если существует ординал $\alpha$ и "последовательность" $\{ x_\beta \}_{\beta \in \alpha}$, элементы которой принадлежат $X$ и предел которой есть $x_0$. Верно ли, что множество ординальных точек прикосновения $X$ совпадает с замыканием $X$?

Под пределом понимаем следующее: $x_0$ есть предел "последовательности" $\{ x_\beta \}_{\beta \in \alpha}$, если для любой окрестности $U$ точки $x_0$ существует ординал $\beta_0 \in \alpha$, такой что $x_\beta \in U$ для всех $\beta_0 \in \beta \in \alpha$. Другими словами, "ординальная последовательность" --- частный случай "направленности". Линейная такая "направленность" При $\alpha = \omega = \aleph_0$ кавычки вокруг слова "последовательность" можно убрать.

-- Вс сен 13, 2009 18:20:30 --

P. S. Разобрался. Вопрос не сложный, ответ положительный. В каждое направленное семейство можно вложить ординал с тем условием, что любой элемент семейства будет меньше образа некоторого элемента ординала.

-- Вс сен 13, 2009 18:33:29 --

Стоп!!! С фига бы это всё? Направленность означает, что для любого конечного подмножества найдётся верхняя грань, на бесконечные это не распространяется. Предельный переход отменяется, вопрос остаётся открытым.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #242959 писал(а):

А мне вот интересен следующий вопрос. Пусть $T$ --- произвольное топологическое пространство и $X \subseteq T$. Назовём точку $x_0 \in T$ ординальной точкой прикосновения множества $X$, если существует ординал $\alpha$ и "последовательность" $\{ x_\beta \}_{\beta \in \alpha}$, элементы которой принадлежат $X$ и предел которой есть $x_0$. Верно ли, что множество ординальных точек прикосновения $X$ совпадает с замыканием $X$?

Вот некая сырая мысля. (Не исключено, что идиотская.) Пусть $T=\beta\mathbb N$, $X=\mathbb N\subset T$ и $x_0\in T\backslash X$. Тогда $x_0\in\operatorname{cl}X$ (поскольку $\operatorname{cl}X=T$ ). Счетно-ординально прыгая по $X$, к точке $x_0$, вроде бы, не устремишься (так как у $x_0$ нет счетной базы окрестностей), а несчетный ординал тут, кажись, не поможет: натуральных чисел маловато.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #243007 писал(а):

Счетно-ординально прыгая...

??? Я вроде не требовал, чтобы ординал был счётным. Или я чего-то не догоняю?

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #243010 писал(а):

AGu в сообщении #243007 писал(а):

Счетно-ординально прыгая...

??? Я вроде не требовал, чтобы ординал был счётным. Или я чего-то не догоняю?

Ну я ж написал: «а несчетный ординал тут, кажись, не поможет: натуральных чисел маловато». Но это все вилами по воде. Думать надо.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #243007 писал(а):

Пусть $T=\beta\mathbb N$, $X=\mathbb N\subset T$ и $x_0\in T\backslash X$.

Не догоняю. $T$ --- это множество ультрафильтров на $\mathbb{N}$ (со стоуновской топологией). А вот насчёт $X$... Вы имеете в виду, что $X$ --- это множество главных ультрафильтров, а $x_0$ --- неглавный, или как?

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #243016 писал(а):

Не догоняю. $T$ --- это множество ультрафильтров на $\mathbb{N}$ (со стоуновской топологией). А вот насчёт $X$... Вы имеете в виду, что $X$ --- это множество главных ультрафильтров, а $x_0$ --- неглавный, или как?

Верно.

[Профессор Снэйп]

Думать надо

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #243019 писал(а):

Думать надо

А когда думать некогда — можно погуглить. Вот, на что я наткнулся: Order_topology (см. «Tychonoff plank» в самом конце статьи).

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #243023 писал(а):

А когда думать некогда — можно погуглить. Вот, на что я наткнулся: Order_topology (см. «Tychonoff plank» в самом конце статьи).

В натуре

Цитата:

However, ordinal-indexed sequences are not powerful enough to replace nets (or filters) in general: for example, on the Tychonoff plank (the product space $(\omega_1+1) \times (\omega + 1)$), the corner point $(\omega_1, \omega)$ is a limit point (it is in the closure) of the open subset $\omega_1 \times \omega$, but it is not the limit of an ordinal-indexed sequence.

Гугол рулит!!!

И всё-таки: пример с $\beta\mathbb{N}$ годится или нет?

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #243066 писал(а):

И всё-таки: пример с $\beta\mathbb{N}$ годится или нет?

Вроде, годится.

Пусть $Q$ — компактификация $\omega$ по Стоуну — Чеху.
Для удобства будем считать, что $\omega\subset Q$.
Пусть $q\in Q\backslash\omega$.
Предварительно покажем, что $n_k\nrightarrow q$ для $n_k\in\omega$ $(k\in\omega)$.

Допустим, $n_k\to q$.
Можно считать, что $n_k$ строго возрастают.
Но тогда $q$ принадлежит непересекающимся
множествам $\operatorname{cl}\{n_{2k}:k\in\omega\}$ и $\operatorname{cl}\{n_{2k+1}:k\in\omega\}$.

Пусть теперь $\beta$ — ординал, $n_\alpha\in\omega$ $(\alpha\in\beta)$ и $n_\alpha\to q$.
Тогда в $\beta$ найдется строго возрастающая $(\alpha_k)_{k\in\omega}$

такая, что $(\forall\,k\in\omega)(\forall\,\alpha\in\beta)(\alpha\geqslant\alpha_k\Rightarrow n_\alpha\geqslant k)$.

Покажем, что $(\forall\,\alpha\in\beta)(\exists\,k\in\omega)(\alpha_k\geqslant\alpha)$.

Допустим, имеется $\alpha\in\beta$ такой, что $(\forall\,k\in\omega)(\alpha_k<\alpha)$.
Тогда $\bar\alpha:=\sup\{\alpha_k:k\in\omega\}\leqslant\alpha<\beta$, причем
$(\forall\,k\in\omega)(\bar\alpha\geqslant\alpha_k)$, откуда $(\forall\,k\in\omega)(n_{\bar\alpha}\geqslant k)$,
чего не бывает.

Стало быть, $\{\alpha_k:k\in\omega\}$ конфинально в $\beta$
и, следовательно, $n_{\alpha_k}\to q$, что невозможно.

Годится?